Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 12

С учётом того, что \(5^{\frac{3}{x}} > 0\) для всех действительных чисел, кроме \(0,\) получаем: $$\left. 75 \cdot \left( 5 \right)^{- \frac{6}{x}} - 152 \cdot \left( 5 \right)^{- \frac{3}{x}} \cdot \left( 3 \right)^{- \frac{3}{x}} + 45 \left( 3 \right)^{- \frac{6}{x}} > 0 \,\, \right| \cdot 5^{\frac{6}{x}}$$ $$45 \cdot \left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{6}{x}} -152 \cdot \left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{3}{x}} + 75 > 0$$ Замена \(t = \left( \cfrac{5}{3} \right)^{\frac{3}{x}}.\) Получаем квадратное неравенство $$45 t^2 - 152 t + 75 > 0$$ Находим корни многочлена \(45 t^2 - 152 t + 75 :\) $$\frac{D}{4} = (-76)^2 - 45 \cdot 75 = 2401 ; \,\, \sqrt{2401} = 49$$ $$t_1 = \frac{76 - 49}{45} = \frac{3}{5} ; \,\, t_2 = \frac{76 + 49}{45} = \frac{25}{9} $$ Значит $$45 t^2 - 152 t + 75 = 45 \left( t - \frac{3}{5} \right) \left( t - \frac{25}{9} \right) > 0$$ Откуда \( t < \cfrac{3}{5}\) или \(t > \cfrac{25}{9}.\) Обратная замена: $$ \left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{3}{x}} < \frac{3}{5}$$ $$\frac{3}{x} < -1 \,\, \Rightarrow \frac{3+x}{x} < 0 \,\, \Rightarrow \,\, x \in (-3; \, 0).$$ $$ \left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{3}{x}} > \frac{25}{9}$$ $$\frac{3}{x} > 2 \,\, \Rightarrow \frac{3-2x}{x} > 0 \,\, \Rightarrow \,\, x \in \left( 0; \, \frac{3}{2} \right).$$

Ответ: \(\left(-3; \, 0 \right) \cup \left( 0; \, \cfrac{3}{2} \right)\)