Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 13

ОДЗ: \(x > 0.\)

$$3^x \cdot \log_2 x - \frac{2}{3} \cdot 3^x \cdot \log_3 x \leqslant \frac{3}{2} \cdot 2^x \cdot \log_2 x - 2^x \cdot \log_3 x$$ $$3^x \cdot \left( \log_2 x - \frac{2}{3} \cdot \log_3 x \right) \leqslant \frac{3}{2} \cdot 2^x \cdot \left( \log_2 x - \frac{2}{3} \log_3 x \right)$$ $$\left( \log_2 x - \frac{2}{3} \log_3 x \right) \left( 3^{x-1} - 2^{x-1} \right) \leqslant 0$$ Найдём точки, в которых выражения в скобках обращаются в ноль: $$\log_2 x - \frac{2}{3} \cdot \log_3 x = 0 \, \Rightarrow$$ $$\frac{\ln x}{\ln 2} - \frac{2}{3} \cdot \frac{\ln x}{\ln 3} = 0$$ $$\left( \frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{3 \ln 3} \right) \cdot \ln x = 0$$ Значит \(x = 1.\)

Другое выражение: $$3^{x-1} = 2^{x-1} \, \Rightarrow \left( \frac{3}{2} \right)^{x-1} = 1$$ Получаем, что снова \(x = 1.\)

Считаем знаки выражений в скобках для точек меньше и больше \(1.\) Слева от \(1.\) Пусть \(x = \cfrac{1}{2}.\) Тогда, первая скобка равна $$-1 + \frac{2}{3} \cdot \log_3 2 < 0,$$ потому что \( \log_3 2 < 1.\) Вторая скобка $$\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}} < 0.$$ Аналогично, для точек справа от \(1.\) Пусть \( x = 2.\) Тогда $$1 + \frac{2}{3} \cdot \log_3 2 > 0,$$ $$3 - 2 > 0$$

Окончательно, решением исходного неравенства будет единственная точка \(x = 1.\)

Ответ: \(1\)