Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 14

ОДЗ: \(x > 0.\)

$$5^x \cdot \log_3 x - \frac{3}{5} \cdot 5^x \cdot \log_5 x > \frac{5}{3} \cdot 3^x \cdot \log_3 x - 3^x \cdot \log_5 x$$ $$5^x \cdot \left( \log_3 x - \frac{3}{5} \cdot \log_5 x \right) > \frac{5}{3} \cdot 3^x \cdot \left( \log_3 x - \frac{3}{5} \log_5 x \right)$$ $$\left( \log_3 x - \frac{3}{5} \log_5 x \right) \left( 5^{x-1} - 3^{x-1} \right) > 0$$ Найдём точки, в которых выражения в скобках обращаются в ноль: $$\log_3 x - \frac{3}{5} \cdot \log_5 x = 0 \, \Rightarrow$$ $$\frac{\ln x}{\ln 3} - \frac{3}{5} \cdot \frac{\ln x}{\ln 5} = 0$$ $$\left( \frac{1}{\ln 3} - \frac{3}{5 \ln 5} \right) \cdot \ln x = 0$$ Значит \(x = 1.\)

Другое выражение: $$5^{x-1} = 3^{x-1} \, \Rightarrow \left( \frac{5}{3} \right)^{x-1} = 1$$ Получаем, что снова \(x = 1.\)

Считаем знаки выражений в скобках для точек меньше и больше \(1.\) Слева от \(1.\) Пусть \(x = \cfrac{1}{3}.\) Тогда, первая скобка равна $$-1 + \frac{3}{5} \cdot \log_5 3 < 0,$$ потому что \( \log_5 3 < 1.\) Вторая скобка $$\frac{1}{\sqrt[3]{5^2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} < 0.$$ Аналогично, для точек справа от \(1.\) Пусть \( x = 3.\) Тогда $$1 + \frac{3}{5} \cdot \log_5 3 > 0,$$ $$5^2 - 3^2 > 0$$

Окончательно, решением исходного неравенства будут все положительные числа (по ОДЗ), за исключением \(1.\)

Ответ: \((0; \, 1) \cup (1; \, + \infty )\)