Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 15

$$2^{\frac{1}{x}} \cdot 5^x \leqslant \frac{1}{2 \cdot 5}$$ $$2^{\frac{1}{x} + 1} \cdot 5^{x + 1} \leqslant 1$$ Так \(f(x) = \ln x\) — монотонно возрастающая функция, то можно прологарифмировать последнее неравенство с сохранением знака неравенства: $$\left( \frac{1}{x} + 1 \right) \cdot \ln 2 + (x + 1) \cdot \ln 5 \leqslant 0$$ $$\frac{1}{x} \cdot \ln 2 + x \cdot \ln 5 + \ln 10 \leqslant 0$$ $$\frac{x^2 \cdot \ln 5 + x \cdot \ln 10 + \ln 2}{x} \leqslant 0$$ Разложим многочлен в числителе на множители $$D = \left( \ln 10 \right)^2 - 4 \cdot \ln 2 \cdot \ln 5 = \left( \ln 2 + \ln 5 \right)^2 - 4 \cdot \ln 2 \cdot \ln 5 = \left( \ln 2 - \ln 5 \right)^2$$ $$x_1 = \frac{- \ln 10 + \ln 2 - \ln 5}{2 \cdot \ln 5}= -1$$ $$x_2 = \frac{- \ln 10 - \ln 2 + \ln 5}{2 \cdot \ln 5}= - \frac{\ln 2}{\ln 5} = - \log_5 2$$ Поэтому наше неравенство примет вид $$\frac{\ln 5 \cdot (x+1) \left( x + \log_5 2 \right)}{x} \leqslant 0$$ Расставляем знаки на интервалах знакопостоянства:

Ответ: \(\left( - \infty ; \, -1 \right] \cup \left[ - \log_5 2 ; \, 0 \right)\)