Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 16

$$4^{x} \cdot 5^{\frac{1}{x}} \geqslant 4 \cdot 5$$ $$4^{x - 1} \cdot 5^{\frac{1}{x} - 1} \geqslant 1$$ Так как фнукция \(\ln x\) монотонно возрастает на всей области определения, то последнее неравенство можно прологарифмировать, сохраняя знак неравенства: $$(x-1) \cdot \ln 4 + \left( \frac{1}{x} - 1\right) \cdot \ln 5 \geqslant 0$$ $$x \cdot \ln 4 + \frac{1}{x} \cdot \ln 5 - \ln 20 \geqslant 0$$ $$\frac{x^2 \cdot \ln 4 - x \cdot \ln 20 + \ln 5}{x} \geqslant 0$$ Разложим многочлен в числителе на множители: $$D = \left( \ln 20 \right)^2 - 4 \cdot \ln 4 \cdot \ln 5 = $$ $$ =\left(\ln 4 + \ln 5\right)^2 - 4 \cdot \ln 4 \cdot \ln 5 = \left( \ln 4 - \ln 5 \right)^2 $$ $$x_1 = \frac{\ln 4 + \ln 5 - \ln 4 + \ln 5}{2 \ln 4} = \frac{\ln 5}{\ln 4} = \log_4 5$$ $$x_2 = \frac{\ln 4 + \ln 5 + \ln 4 - \ln 5}{2 \ln 4} = 1$$ Поэтому наше неравенство принимает вид: $$\frac{\ln 4 \cdot \left(x - 1 \right) \left( x - \log_4 5 \right)}{x} \geqslant 0$$ Находим знаки нашего неравенства на интервалах знакопостоянства:

Ответ: \(\left( 0; \, 1 \right] \cup \left[ \log_4 5 ; \, + \infty \right)\)