Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 17

ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 2 \neq 0 \\ x^4 - 9 x^2 > 0 \end{cases} \, \Rightarrow \begin{cases} x \neq -2 \\ x \neq 0 \\ |x| > 3 \end{cases} $$ Окончательно \( |x| > 3.\)

Так как на ОДЗ \(\sqrt{x^4 - 9x^2} > 0,\) то наше неравенство можно умножить на этот корень. Тогда получаем: $$x \geqslant \frac{\sqrt{x^4 - 9 x^2}}{x + 2}$$ $$\frac{x(x+2) - \sqrt{x^4 - 9 x^2}}{x + 2} \geqslant 0$$ Рассмотрим два случая.

Первый случай. $$ \begin{cases} x (x+2) - \sqrt{x^4 - 9 x^2} \geqslant 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения сразу следует, что \(x > - 2.\) Далее первое неравенство $$\sqrt{x^4 - 9x^2} \leqslant x (x+2)$$ не имеет решений при \(x (x + 2) < 0.\) Значит, \(x (x+2) \geqslant 0,\) откуда с учётом того, что \(x > -2\) немедленно получаем, что \(x \geqslant 0.\) Так как левая и правая части неравенства неотрицательные, можно их взвести в квадрат с сохранением знака неравенства: $$x^4 - 9x^2 \leqslant x^2 \left( x^2 + 4x + 4 \right)$$ $$-4x^3 - 13x^2 \leqslant 0$$ $$x^2 (4x + 13 ) \geqslant 0$$ Решением этого неравенства будет \(x > - \cfrac{13}{4}.\) Собираем вместе ОДЗ и решение этого неравенства: $$ \begin{cases} x \geqslant - \cfrac{13}{4} \\ x \geqslant 0 \\ |x| > 3 \end{cases} $$ Или, окончательно, \(x \in (3 ; \, + \infty ).\)

Второй случай. $$ \begin{cases} x (x+2) - \sqrt{x^4 - 9 x^2} \leqslant 0 \\ x + 2 < 0 \end{cases} $$ Из второго неравенства сразу получаем, что \(x < -2.\) Тогда \(x (x + 2) > 0.\) Значит первое неравенство, переписанное в виде $$\sqrt{x^4 - 9 x^2} \geqslant x (x+2)$$ имеет и в левой и в правой части неотрицательные величины, что позволяет возвести в квадрат обе его части без изменения знака неравенства: $$x^4 - 9 x^2 \geqslant x^2 ( x + 2)^2$$ Его решением будет очевидно \(x \leqslant - \cfrac{13}{4}.\) Собираем всё вместе: $$ \begin{cases} x \leqslant - \cfrac{13}{4} \\ x < -2 \\ |x| > 3 \end{cases} $$ Значит, решением неравенства в этом случае будет множество \(\left(-\infty ; \, - \cfrac{13}{4} \right] .\)

Ответ: \(\left(-\infty ; \, - \cfrac{13}{4} \right] \cup \left( 3 ; \, + \infty \right) \)