Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 18

ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 3 \neq 0 \\ 4x^2 - x^4 > 0 \end{cases} \,\, \Rightarrow \,\, \begin{cases} x \neq -3 \\ x \neq 0 \\ |x| < 2 \end{cases} $$ Собирая всё вместе получаем: \( x \neq 0\) и \(|x| < 2.\)

На ОДЗ корень \(\sqrt{4x^2 - x^4} > 0.\) Поэтому можно умножить левую и правую части неравенства на этот корень. Получаем: $$ x \leqslant \frac{\sqrt{4x^2 - x^4}}{x + 3} $$ $$ \frac{x (x+3) - \sqrt{4 x^2 -x^4}}{x+3} \leqslant 0 $$ Случай, когда \(x + 3 < 0\) и, значит, \(x < -3\) не подходит по ОДЗ. Поэтому достаточно рассмотреть случай $$ \begin{cases} x (x+3) - \sqrt{4x^2 - x^4} \leqslant 0 \\ x > -3 \end{cases} $$ Или $$ \begin{cases} \sqrt{4x^2 - x^4} \geqslant x (x+3) \\ x > -3 \end{cases} $$ Здесь опять нужно рассмотреть два случая. Первый: \(x (x+3) < 0,\) т.е. \(-3 < x < 0.\) Тогда $$4x^2 - x^4 \geqslant 0$$ $$x^2 (4 - x^2) \geqslant 0$$ Получаем, что \(x = 0\) и \(|x| < 2.\) Собираем всё вместе с учётом ОДЗ $$ \begin{cases} x \neq 0 \\ |x| < 2 \\ -3 < x < 0 \end{cases} $$ Иными словами, \(-2 < x < 0.\)

Второй случай. \(x \geqslant 0.\) Тогда обе части неравенства неотрицательные и мы можем их возвести в квадрат. Получаем: $$4x^2 - x^4 \geqslant x^2 \left( x^2 + 6x + 9\right)$$ $$-2 x^4 -6 x^3 - 5 x^2 \geqslant 0$$ $$x^2 \left( 2x^2 + 6x + 5\right) \leqslant 0$$ Решение \(x = 0\) этого неравенства не подходит по ОДЗ. Далее, дискриминант трёхчлена \(2x^2 + 6x + 5\) отрицательный: \(D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = -4.\) Так как \(a = 2 > 0,\) то \(2x^2 + 6x + 5 > 0\) для любых \(x\) и, поэтому неравенство \(2x^2 + 6x + 5 \leqslant 0\) не имеет решений в действительных числах. Значит, во втором случае наше неравенство не имеет решений.

Ответ: \((-2; \, 0)\)