Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 2

Преобразуем знаменатель: $$ \log_{\frac{1}{5}}^2 \left( 3^x - 2 \right) - \log_{\frac{1}{5}} \left( 3^x - 2 \right)^2 + 1 = $$ $$\log_{\frac{1}{5}}^2 \left( 3^x - 2 \right) - 2 \log_{\frac{1}{6}} \left( 3^x - 2 \right) + 1 = $$ $$ \left( \log_{\frac{1}{5}} \left( 3^x - 2 \right) - 1 \right)^2$$ Теперь легко найти ОДЗ: $$ \begin{cases} 3^x - 2 > 0 \\ \log_{\frac{1}{5}} \left( 3^x - 2 \right) - 1 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow $$ $$ \begin{cases} 3^x > 2 \\ 3^x - 2 \neq \cfrac{1}{5} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \log_3 2 \\ x \neq \log_3 \cfrac{11}{5} \end{cases} $$ На ОДЗ знаменатель положителен. Поэтому наше неравенство эквивалентно $$ \begin{cases} 4^x - 3 \cdot 2^{x+1} + 5 \leqslant 0 \\ x > \log_3 2 \\ x \neq \log_3 \cfrac{11}{5} \end{cases} $$ Преобразуем числитель: \(4^x - 3 \cdot 2^{x+1} + 5 = \) \( 4^{2x} - 6 \cdot 2^x + 5 = \) \( \left( 2^x - 1\right) \left( 2^x - 5\right) \leqslant 0 \, \Rightarrow\) \(1 \leqslant 2^x \leqslant 5 \, \Rightarrow \) \(0 \leqslant x \leqslant \log_2 5.\) Исходное неравенство выполняется при $$ \begin{cases} 0 \leqslant x \leqslant \log_2 5 \\ x > \log_3 2 \\ x \neq \log_3 \cfrac{11}{5} \end{cases} $$ Заметим, что \(\log_3 \cfrac{11}{5} < \log_3 9 = 2\) и \(\log_2 5 > \log_2 4 = 2.\) Поэтому \(\log_3 \cfrac{11}{5} < \log_2 5.\) Кроме того \( 0 < \log_3 2 < \log_3 \cfrac{11}{5} .\) Поэтому получаем, что неравенство справедливо, если \( x \in \left( \log_3 2; \, \log_3 \cfrac{11}{5} \right) \cup \left( \log_3 \cfrac{11}{5} ; \, \log_2 5 \right].\)

Ответ: \(\left( \log_3 2; \, \log_3 \cfrac{11}{5} \right) \cup \left( \log_3 \cfrac{11}{5} ; \, \log_2 5 \right]\)