Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 20

ОДЗ: $$ \begin{cases} x^2 - 5 > 0 \\ \sqrt{5} - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} |x| > \sqrt{5} \\ x < \sqrt{5} \end{cases}$$ Отсюда получаем, что \(x < - \sqrt{5} .\)

Корни трёхчлена \(2x^2 + 9x + 10\) находим стандартным образом: \(D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 1;\) \( x_1 = \cfrac{-9 - 1}{4} = - \cfrac{5}{2};\) \(x_2 = \cfrac{-9 + 1}{4} = -2.\) Поэтому $$2x^2 + 9x + 10 = 2 \left( x + \frac{5}{2} \right) \left( x + 2 \right) = (2x + 5)(x+2)$$ Теперь $$\frac{1}{3} \log_{0{,}5} \left( x^2 - 5 \right) + \log_8 \left( \sqrt{5} - x \right) = \frac{1}{3} \left(- \log_{2} \left( x^2 - 5 \right) + \log_2 \left( \sqrt{5} - x \right) \right) $$ Так как функция \(\log_2 x\) монотонно возрастает на всей области определения, то $$\log_2 \left( \sqrt{5} - x \right) - \log_{2} \left( x^2 - 5 \right) > 0 \, \Rightarrow \, \left( \sqrt{5} - x \right) - \left( x^2 - 5 \right) > 0$$ Заметим, что $$ \left( \sqrt{5} - x \right) - \left( x^2 - 5 \right) = \left( \sqrt{5} - x \right) \left( 1 + \sqrt{5} + x \right) $$ Значит, исходное неравенство эквивалентно системе неравенств $$ \begin{cases} (2x + 5 ) (x + 2) \left( \sqrt{5} - x \right) \left(1 + \sqrt{5} + x \right) \geqslant 0 \\ x < - \sqrt{5} \end{cases} $$ или $$ \begin{cases} (2x + 5 ) (x + 2) \left(x - \sqrt{5} \right) \left(x + 1 + \sqrt{5} \right) \leqslant 0 \\ x < - \sqrt{5} \end{cases} $$ Решаем методом интервалов:

Ответ: \(\left[ -1 -\sqrt{5} ; \, - \cfrac{5}{2} \right]\)