Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 23

ОДЗ: \(x + 1 \neq 0\) и \(2x + 3 > 0,\) т.е. \(x \neq -1\) и \(x > - \cfrac{3}{2}.\)

Найдём точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль: $$\log_4 (x+1)^2 -2 = 0 \\ \log_2 (x+1)^2 = 2 \\ (x+1)^2 = 16$$ Значит, \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -5.\)

Далее: $$\log_2 (2x + 3) - 1 = 0 \\ 2x+3 = 2 $$ Значит, \(x = - \cfrac{1}{2}.\) Рассмотрим наше неравенство с учётом ОДЗ на интервалах, в которых выражения под модулями имеет постоянный знак.

Интервал \(\left( - \cfrac{3}{2} ; \, - \cfrac{1}{2} \right] :\) $$- \log_4 (x+1)^2 + 2 - \log_2 (2x + 3) + 1 \leqslant 3 \\ \log_2 |x + 1| + \log_2 (2x + 3) \geqslant 0$$ Здесь нужно рассмотреть два случая. Первый \(x < -1.\) Тогда \(x + 1 < 0\) и $$\log_2 (-x-1) + \log_2 (2x+3) \geqslant 0 \\ - (x+1) (2x+3) \geqslant 1 \\ 2x^2 + 5x + 4 \leqslant 0$$ Так как \(D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 < 0\) и \(a = 2 > 0,\) то \(2x^2 + 5x + 4 > 0\) для всех \(x.\) Поэтому на интервале \(-\cfrac{3}{2} < x < -1\) наше неравенство не имеет решений.

Второй случай: \(-1 < x \leqslant - \cfrac{1}{2}.\) Здесь и далее \(x + 1 > 0\) и \(|x + 1| = x + 1.\) Поэтому наше неравенство принимает вид $$\log_2 (x+1) + \log_2 (2x+3) \geqslant 0 \\ (x+1)(2x+3) \geqslant 1 \\ 2x^2 + 5x + 2 \geqslant 0 \\ (2x + 1) (x + 2) \geqslant 0$$ Получаем, что на интервале \( -1 < x \leqslant - \cfrac{1}{2}\) имеется решение только \(x = - \cfrac{1}{2}.\)

Интервал \(-\cfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 3 :\) $$- \log_2 (x+1) + 2 + \log_2 (2x + 3) - 1 \leqslant 3 \\ \log_2 \frac{2x +3}{x + 1} \leqslant \log_2 4 \\ \frac{2x+3}{x+1} -4 \leqslant 0 \\ \frac{2x + 1}{x + 1} \geqslant 0$$ Решением последнего неравенства будет множество \((-\infty ; \, -1) \cup \left[-\cfrac{1}{2} ; \, + \infty \right) .\) Получаем, что весь интервал \(\left[ - \cfrac{1}{2} ; \, 3 \right] \) является решением исходного неравенства.

Интервал \(x \geqslant 3.\) $$\log_2 (x+1) -2 + \log_2 (2x + 3) - 1 \leqslant 3 \\ (x+1) (2x+3) \leqslant 64 \\ 2x^2 + 5x - 61 \leqslant 0$$ Находим корни трёхчлена \(2x^2 + 5x - 61 :\) $$D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 51 = 513 \\ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{513}}{4}, \,\, x_2 = \frac{-5 + \sqrt{513}}{4}$$ Учитывая, что \(a = 2 > 0,\) получаем, что последнее неравенство имеет решением множество $$\left[ \frac{-5 - \sqrt{513}}{4} ; \, \frac{\sqrt{513} - 5}{4} \right]$$ Сравним правую границу этого множества с \(3.\) Сначала заметим, что \(\sqrt{513} > \sqrt{512} = 16 \sqrt{2}.\) Поэтому $$\frac{\sqrt{513} - 5}{4} > 4 \sqrt{2} - \frac{5}{4}$$ Теперь $$4 \sqrt{2} - \frac{5}{4} \lor 3 \\ 4 \sqrt{2} \lor \frac{17}{4} \\ \sqrt{2} \lor \frac{17}{16} \\ 2 > \frac{289}{256}$$ Поэтому $$3 < \frac{\sqrt{513} - 5}{4}$$ и имеется еще одно множество решений нашего неравенства: $$\left[ 3; \, \frac{\sqrt{513} - 5}{4} \right].$$

Объединяя все решения в одно множество, получаем окончательный ответ: \(\left[ - \cfrac{1}{2} ; \, \cfrac{\sqrt{513} - 5}{4} \right] .\)

Ответ: \(\left[ - \cfrac{1}{2} ; \, \cfrac{\sqrt{513} - 5}{4} \right]\)