Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 24

ОДЗ: \( x \neq - \cfrac{1}{2}\) и \( x < 1.\)

Найдём точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль: $$\log_9 (2x + 1)^2 - 1 = 0 \, \Rightarrow \, \log_9 \left| 2x+1 \right| = \frac{1}{2} \, \Rightarrow \\ \left| 2x + 1 \right| = 3 \, \, x_1 = 1, \,\, x_2 = -2.$$ Причём \( \log_9 (2x+1)^2 - 1 \geqslant 0 \) при \( x \leqslant -2\) и \( \log_9 (2x+1)^2 - 1 \leqslant 0 \) при \( -2 \leqslant x < 1, \, x \neq -\cfrac{1}{2}.\)-

Далее $$\log_3 (1-x) = 3 \,\, \Rightarrow \,\, 1-x = 27 \,\, \Rightarrow \,\, x_3 = -26$$ Причём \(\log_3 (1-x) \geqslant 0 \) при \(x \leqslant -26\) и \(\log_3 (1-x) \leqslant 0 \) при \(-26 \leqslant x < 1.\)

Также учтём, что \(2x+1 < 0 \) при \( x < - \cfrac{1}{2} \) и \(2x+1 > 0 \) при \( x > - \cfrac{1}{2}. \)

Первый интервал: \(-\infty < x \leqslant -26.\) Раскрываем с учётом всего вышесказанного модули: $$\log_3 \left| 2x + 1 \right| - 1 - \log_3 (1-x) + 3 \geqslant 1 \\ \log_3 \left( - (2x+1) \right) - \log_3 (1-x) \geqslant -1 \\ \log_3 \frac{2x + 1}{x-1} \geqslant -1 \,\, \Rightarrow \,\, \frac{2x+1}{x-1} \geqslant \frac{1}{3} \\ \frac{5x + 4}{x - 1} \geqslant 0$$ Решением последнего неравенства является множество \(\left( - \infty ; \, -\cfrac{5}{4} \right] \cup (1; \, + \infty) .\) С учётом ограничения на интервал, на котором мы рассматривали наше неравенство, получим \( ( - \infty; \, -26 ].\)

Второй интервал: \(-26 \leqslant x \leqslant -2.\) $$\log_3 \left| 2x + 1 \right| - 1 + \log_3 (1-x) - 3 \geqslant 1 \\ \log_3 \left( - (2x+1) \right) + \log_3 (1-x) \geqslant 5 \\ \log_3 \left( (2x + 1) (x-1) \right) \geqslant 5 \,\, \Rightarrow \,\, (2x+1)(x-1) \geqslant 243 \\ 2x^2 -x -244 \geqslant 0 \\ D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 244 = 1953 \,\, \sqrt{D} = 3 \sqrt{217} \\ x_1 = \frac{1 - 3 \sqrt{217}}{4} \,\, x_2 = \frac{1 + 3 \sqrt{217}}{4}$$ Значит, решением последнего квадратного неравенства будет $$\left( - \infty ; \, \frac{1 - 3 \sqrt{217}}{4} \right] \cup \left[ \frac{1 + 3 \sqrt{217}}{4} ; \, + \infty \right)$$ Выбирая отсюда точки, принадлежащие второму интервалу, получаем, что на нём решением нашего неравенства будет $$\left[ -26; \, \frac{1 - 3 \sqrt{217}}{4} \right]$$ Видим, что множества решений на первом и втором интервалах склеиваются и получаем окончательно, что решением исходного неравенства при \(x \leqslant -2\) будет множество $$\left( - \infty ; \, \frac{1 - 3 \sqrt{217}}{4} \right] .$$

Третий интервал: \(-2 \leqslant x < -\cfrac{1}{2} .\) $$- \log_3 (- (2x+1) ) + 1 + \log_3 (1-x) - 3 \geqslant 1 \\ \log_3 \frac{x-1}{2x+1} \geqslant 3 \,\, \Rightarrow \,\, \frac{x-1}{2x+1} \geqslant 27 \\ \frac{53 x + 28}{2x + 1} \leqslant 0$$ Решением последнего неравенства будет $$\left[ - \frac{28}{53} ; \, - \frac{1}{2} \right).$$

Четвёртый интервал: \(-\cfrac{1}{2} < x < 1 .\) $$- \log_3 (2x+1) + 1 + \log_3 (1-x) - 3 \geqslant 1 \\ \log_3 \frac{1-x}{2x+1} \geqslant 3 \,\, \Rightarrow \,\, \frac{1-x}{2x+1} \geqslant 27 \\ \frac{55x + 26}{2x+1} \leqslant 0$$ Решением последнего неравенства будет множество $$\left( - \frac{1}{2} ; \, - \frac{26}{55} \right]$$

Ответ: \(\left( - \infty ; \, \cfrac{1 - 3 \sqrt{217}}{4} \right] \cup \left[ - \cfrac{28}{53} ; \, - \cfrac{1}{2} \right) \cup \left( -\cfrac{1}{2} ; \, - \cfrac{26}{55} \right] \)