Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 25

ОДЗ: \( x \neq 4.\)

Введём замену \(t = \log_2 |4 - x| = \log_2 |x - 4|.\) Тогда \(\log_8 (4-x)^4 = \cfrac{4}{3} \log_2 | 4 - x | = \cfrac{4t}{3}\) и \( \log_{0{,}5} (4-x)^8 = - 8 \log_2 |4 - x| = -8t .\)

С учётом этой замены наше неравенство принимает вид: $$2 t^2 - 5t - 7 \leqslant 0$$ Корни трёхчлена в левой части неравенства легко находятся по теореме Виета: \(x_1 = -1\) и \(x_2 = \cfrac{7}{2}.\) Получаем следующее неравенство $$(2t - 7) (t + 1) \leqslant 0 \\ -1 \leqslant t \leqslant \frac{7}{2} \\ -1 \leqslant \log_2 | 4 - x| \leqslant \frac{7}{2} \\ \frac{1}{2} \leqslant | x - 4 | \leqslant 8 \sqrt{2}$$

Первый случай: \(x < 4 :\) $$\frac{1}{2} \leqslant -x + 4 \leqslant 8 \sqrt{2} \\ - \cfrac{7}{2} \leqslant -x \leqslant -4 + 8 \sqrt{2} \\ 4 - \sqrt{8} \leqslant x \leqslant \frac{7}{2}$$

Второй случай: \(x > 4 :\) $$\frac{1}{2} \leqslant x - 4 \leqslant 8 \sqrt{2} \\ \cfrac{9}{2} \leqslant x \leqslant 4 + 8 \sqrt{2}$$ Так как \(\cfrac{7}{2} < 4 < \cfrac{9}{2},\) то окончательный ответ — множество \( \left[ 4 - 8\sqrt{2} ; \, \cfrac{7}{2} \right] \cup \left[ \cfrac{9}{2} ; \, 4 + 8 \sqrt{2} \right] .\)

Ответ: \(\left[ 4 - 8\sqrt{2} ; \, \cfrac{7}{2} \right] \cup \left[ \cfrac{9}{2} ; \, 4 + 8 \sqrt{2} \right] \)