Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 26

ОДЗ: \( x \neq -5.\)

Введём замену \( t = \log_5 |x+5|.\) Тогда \(\log_{0{,}2} (x+5)^4 = -4t\) и \(\log_{25} (x+5)^{12} = 6t.\) С учётом этого получаем следующее неравенство: $$16 t^2 - 24t - 40 \geqslant 0 \\ 2t^2 -3t -5 \geqslant 0$$ По теореме Виета корни трёхчлена в левой части неравенства будут \(-1\) и \( \cfrac{5}{2}.\) Поэтому неравенство запишется в виде: $$(2t-5) (t+1) \geqslant 0$$ Отсюда \(t \leqslant -1\) или \(t \geqslant \cfrac{5}{2}.\) Рассмотрим по отдельности два этих случая:

Первый случай: \(t \leqslant -1 :\) $$\log_5 |x+5| \leqslant -1 \\ |x+5| \leqslant \frac{1}{5}$$ При \(x < -5\) $$-x-5 \leqslant \frac{1}{5} \\ x \geqslant - \frac{26}{5}$$ Значит в этом случае решением будет множество \(\left[ - \cfrac{26}{5} ; \, -5 \right).\)

При \(x > -5\) $$x + 5 \leqslant \frac{1}{5} \\ x \leqslant - \frac{24}{5}$$ Здесь решением будет множество \( \left( -5; \, -\cfrac{24}{5} \right] .\)

Второй случай: \(t \geqslant \cfrac{5}{2} :\) $$\log_5 |x+5| \geqslant \cfrac{5}{2} \\ |x+5| \geqslant 25 \sqrt{5}$$ При \(x < -5\) $$-x-5 \geqslant 25 \sqrt{5} \\ x \geqslant - 5 - 25 \sqrt{5}$$ Значит в этом случае решением будет множество \(\left( - \infty ; \, -5 - 25 \sqrt{5} \right].\)

При \(x > -5\) $$x + 5 \leqslant 25 \sqrt{5} \\ x \leqslant 25 \sqrt{5} - 5$$ Здесь решением будет множество \( \left[ 25 \sqrt{5} - 5; \, +\infty \right) .\)

Собирая всё вместе, получаем окончательный ответ: \(\left( - \infty; \, -5 - 25 \sqrt{5} \right] \cup \left[ - \cfrac{26}{5} ; \, -5 \right) \cup \left( -5 ; \, - \cfrac{24}{5} \right] \cup \left[ 25 \sqrt{5} - 5 ; \, + \infty \right) . \)

Ответ: \(\left( - \infty; \, -5 - 25 \sqrt{5} \right] \cup \left[ - \cfrac{26}{5} ; \, -5 \right) \cup \left( -5 ; \, - \cfrac{24}{5} \right] \cup \left[ 25 \sqrt{5} - 5 ; \, + \infty \right) \)