Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 27

$$ \frac{\sqrt{x+5} + 4 - (x-5-16)}{\sqrt{x-5} - 4} \leqslant 0 \\ \frac{-x + 25 + \sqrt{x+5}}{\sqrt{x-5} -4} \leqslant 0 $$ Рассматриваем два случая.

Первый случай. $$\begin{cases} \sqrt{x+5} \leqslant x - 25 \\ \sqrt{x-5} > 4 \end{cases} $$ $$\begin{cases} x \geqslant 25 \\ x + 5 \leqslant (x-25)^2 \\ x-5 > 16 \end{cases} $$ $$\begin{cases} x \geqslant 25 \\ x > 21\\ x + 5 \leqslant x^2 -50x + 625 \end{cases} $$ $$\begin{cases} x \geqslant 25 \\ x^2 - 51x + 620 \geqslant 0 \end{cases} $$ Находим корни трёхчлена \(x^2 -51x + 620: \) \(D = 51^2 - 4 \cdot 620 = 121 ; \, x_1 = \cfrac{51-11}{2} = 20, \,\, x_2 = \cfrac{51+11}{2} = 31.\) Таким образом $$ x^2 - 51x + 620 = (x-20)(x-31) \geqslant 0 \, \Rightarrow \\ x \in (- \infty ; \, 20 ] \cup [31; \, + \infty).$$ Получаем, что $$ \begin{cases} x \geqslant 25 \\ x \in (- \infty ; \, 20 ] \cup [31; \, + \infty) \end{cases} \,\, \Rightarrow $$ $$ x \in [31 ; \, + \infty )$$

Второй случай. $$ \begin{cases} \sqrt{x+5} \geqslant x-25 \\ \sqrt{x-5} < 4 \end{cases} $$ Здесь имеем две возможности. Первая $$ \begin{cases} x \geqslant 25 \\ x + 5 \geqslant (x-25)^2 \\ 0 \leqslant x - 5 < 16 \end{cases} $$ $$\begin{cases} x \geqslant 25 \\ 5 \leqslant x < 21 \\ x + 5 \geqslant (x-25)^2 \end{cases} $$ Здесь нет решений. $$ \begin{cases} x < 25 \\ x + 5 \geqslant 0 \\ 0 \leqslant x - 5 < 16 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \geqslant -5 \\ 5 \leqslant x < 21 \end{cases} $$ Здесь решением является множество \( [5 ; \, 21 ) .\)

Ответ: \([5; \, 21) \cup [31; \, + \infty)\)