Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 28

$$ \frac{\sqrt{x-9} - 2 - (x-9-4)}{\sqrt{x-9} + 2} > 0 $$ $$ \frac{\sqrt{x+9} + 11 - x}{\sqrt{x-9} + 2} > 0 $$ Рассматриваем два случая.

Первый случай. $$\begin{cases} \sqrt{x+9} > x - 11 \\ \sqrt{x-9} > -2 \end{cases} $$ Имеем две возможности. $$\begin{cases} x < 11 \\ x + 9 \geqslant 0 \\ x-9 \geqslant 0 \end{cases} $$ $$\begin{cases} x < 11 \\ x \geqslant -9 \\ x \geqslant 9 \end{cases} $$ Решением этой системы является множество \([9 ; \, 11).\)

Вторая возможность $$\begin{cases} x \geqslant 11 \\ x + 9 > (x-11)^2 \\ x - 9 \geqslant 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \geqslant 11 \\ x + 9 > x^2 - 22x + 121 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \geqslant 11 \\ x^2 - 23x + 112 < 0 \end{cases} $$ Находим корни трёхчлена \(x^2 -23x + 112: \) \(D = (-23)^2 - 4 \cdot 112 = 81 ; \, x_1 = \cfrac{23-9}{2} = 7, \,\, x_2 = \cfrac{23+9}{2} = 16.\) Таким образом $$ x^2 - 23x + 112 = (x-7)(x-16) < 0 \, \Rightarrow \\ 7 < x < 16.$$ Получаем, что $$ \begin{cases} x \geqslant 11 \\ 7 < x < 16 \end{cases}$$ Решением этой системы является множество \([11; \, 16).\) Окончательно, решением исходного неравенства в первом случая будет множество \([9; \, 16).\)

Второй случай. $$ \begin{cases} \sqrt{x+9} < x - 11 \\ \sqrt{x-9} < -2 \end{cases} $$ Эта система не имеет решений.

Ответ: \([9; \, 16)\)