Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 31

Замена \(t = 4^x.\) Ясно, что \(t > 0.\) С учётом такой замены получаем, что $$\frac{t^2 - 32t + 112}{t - 32} \leqslant 0$$ Корни трёхчлена \(t^2 - 32t + 112 :\) \( D = (-32)^2 - 4 \cdot 112 = 576; \, t_1 = \cfrac{32 - 24}{2} = 4, \, t_2 = \cfrac{32 + 24}{2} = 28.\) Тогда неравенство запишется как $$\frac{(t-4) (t-28)}{t - 32} \leqslant 0.$$ Находим знаки на интервалах знакопостоянства:

Значит, либо \(0 < 4^x \leqslant 4 \, \Rightarrow \, - \infty < x \leqslant 1.\) Либо \(4^{\log_4 28} \leqslant 4^x < 4^{\log_4 32}.\) С учётом того, что \(\log_4 32 = \cfrac{5}{2},\) получаем, что \(\log_4 28 \leqslant x < \cfrac{5}{2}.\)

Ответ: \(\left( - \infty ; \, 1 \right] \cup \left[ \log_4 28 ; \, \cfrac{5}{2} \right) .\)