Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 34

Так как $$ \frac{9}{10} = \frac{36}{40} > \frac{10 \pi}{40} = \frac{\pi}{4} $$ то с учётом того, что тангенс возрастает на интервале \( -\cfrac{\pi}{2} < x < \cfrac{\pi}{2} \) получаем $$\mathrm{tg} \, 0{,}9 > \mathrm{tg} \, \frac{\pi}{4} = 1.$$ С учётом вышесказанного, преобразуем наше неравенство $$\log_{\mathrm{tg} \, 0{,}9} \left( \log_{\frac{1}{4}} \left( x^2 - 2 \right) \right) \leqslant \log_{\mathrm{tg} \, 0{,}9} 1$$ $$0 < \log_{\frac{1}{4}} \left( x^2 - 2 \right) \leqslant 1$$ $$\log_{\frac{1}{4}} 1 < \log_{\frac{1}{4}} \left( x^2 - 2 \right) \leqslant \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4}$$ $$\frac{1}{4} \leqslant x^2 - 2 < 1$$ $$\frac{9}{4} \leqslant x^2 < 3$$ $$\frac{3}{2} \leqslant |x| < \sqrt{3}$$

Ответ: \(\left( - \sqrt{3} ; \, - \cfrac{3}{2} \right] \cup \left[ \cfrac{3}{2} ; \, \sqrt{3} \right) \)