Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 5

ОДЗ: \(4 - x \geqslant 0 \, \Rightarrow \) \( x \leqslant 4.\)

Числитель неравенства на ОДЗ неотрицательный, причём при \(x = 4\) он обращается в нуль. В этой точке знаменатель равен \(2^{11} - 17 \cdot 2^{3{,}5} + 1.\) Это — иррациональное число и значит не равно нулю. Поэтому точка \(x = 4\) является решением нашего неравенства. Других точек, в которых дробь в неравенстве равна нулю, нет.

Дробь в неравенстве отрицательна, когда $$2^{x^2 - 5} - 17 \cdot 2^{0{,}5 x^2 - 4{,}5} + 1 < 0$$ $$2^{-5} \left( 2^{x^2} - 17 \sqrt{2} \cdot 2^{0{,}5 x^2} + 32 \right) < 0$$ Заменой \(t = \left( \sqrt{2} \right)^{x^2}\) получаем следующее неравенство: $$t^2 -17 \sqrt{2} t + 32 < 0$$ Найдём корни многочлена \(t^2 -17 \sqrt{2} t + 32:\) \( D = 289 \cdot 2 - 4 \cdot 32 = 450 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 2 ;\) \(t_1 = \cfrac{17 \sqrt{2} - 15 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} ;\) \(t_2 = \cfrac{17 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2}}{2} = 16 \sqrt{2} .\) Таким образом $$t^2 -17 \sqrt{2} t + 32 = \left( t - \sqrt{2} \right) \left( t - 16\sqrt{2} \right) < 0$$ $$\sqrt{2} < t < 16 \sqrt{2}$$ $$\sqrt{2} < \left( \sqrt{2} \right)^{x^2} < \sqrt{2^9}$$ $$1 < x^2 < 9$$ $$1 < |x| < 3$$ Отсюда, либо \(1 < x < 3,\) либо \(-3 < x < -1.\) Оба интервала входят в ОДЗ, а, значит, являются решением нашего неравенства.

Ответ: \((-3; \, -1) \cup (1; \, 3) \cup \{ 4 \}\)