Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 6

ОДЗ: \(x + 5 \geqslant 0 \, \Rightarrow \) \( x \geqslant -5.\) Кроме того, при \(x = -5\) числитель дроби обращается в нуль, а знаменатель \(2^{21} - 9 \cdot 2^{8} + 1 \neq 0.\) Значит \( x = -5\) является решением нашего неравенства. Других значение \(x,\) пр которых дробь обращается в нуль, нет.

Числитель дроби в неравенстве неотрицателен. Чтобы дробь неравенства была отрицательной, необходимо, чтобы её знаменатель был отрицательным $$2^{x^2 - 6} - 9 \cdot 2^{0{,}5 x^2 - 4{,}5} + 1 < 0$$ $$2^{-6} \cdot \left( 2^{x^2} -18 \sqrt{2} \cdot 2^{0{,}5 x^2} + 64 \right) < 0$$ Заменой \(t = \left( \sqrt{2} \right)^{x^2}\) получаем следующее неравенство: $$t^2 - 18 \sqrt{2} t + 64 < 0$$ Находим корни многочлена \( t^2 - 18 \sqrt{2} t + 64 : \) \(D = 324 \cdot 2 - 4 \cdot 64 = 392 = 2 \cdot 14^2 ;\) \(t_1 = \cfrac{18 \sqrt{2} - 14 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2};\) \(t_2 = \cfrac{18 \sqrt{2} + 14 \sqrt{2}}{2} = 16 \sqrt{2}.\) Поэтому $$\left( t - 2 \sqrt{2} \right) \left( t - 16 \sqrt{2} \right) > 0$$ Получаем, что \(t > 16 \sqrt{2}\) или \(t < 2 \sqrt{2}.\) Обратная замена: \(\left( \sqrt{2} \right)^{x^2} > \sqrt{2^9} \, \Rightarrow \) \( x^2 > 9 \, \Rightarrow \) \( |x| > 3.\) И \(\left( \sqrt{2} \right)^{x^2} < \sqrt{2^3} \, \Rightarrow \) \( x^2 < 3 \, \Rightarrow \) \( - \sqrt{3} < |x| < \sqrt{3} .\) С учётом ОДЗ, получаем, что \( x \in \left[ -5; \, -3 \right) \cup \left( - \sqrt{3} ; \, \sqrt{3} \right) \cup \left( 3; \, + \infty \right) .\)

Ответ: \(\left[ -5; \, -3 \right) \cup \left( - \sqrt{3} ; \, \sqrt{3} \right) \cup \left( 3; \, + \infty \right) \)