Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 7

ОДЗ: \(x^2 - 7 \geqslant 0 \Rightarrow \) \( |x| \geqslant \sqrt{7} .\) Кроме того, \(5 - \sqrt{x^2 - 7} \neq 0 \, \Rightarrow \) \( x^2 \neq 32 \, \Rightarrow \) \( x \neq \pm 4 \sqrt{2}.\)

Замена \( t = \sqrt{x^2 -7}.\) Тогда $$t < 1 + \frac{4}{5 - t}$$ $$t - 1 - \frac{4}{5 - t} < 0$$ $$\frac{-t^2 + 6t - 9}{5 - t} < 0$$ $$\frac{(t-3)^2}{t - 5} < 0$$ Значит $$ \begin{cases} t \neq 3 \\ t < 5 \end{cases} $$ Первое условие: \(t \neq 3 \, \Rightarrow \) \(\sqrt{x^2 - 7} \neq 3 \, \Rightarrow \) \( x^2 \neq 16 \, \Rightarrow \) \(x \neq \pm 4.\)

Второе условие: \(t < 5 \, \Rightarrow \) \( \sqrt{x^2 - 7} < 5 \, \Rightarrow \), \( x^2 < 32 \, \Rightarrow \) \( -4 \sqrt{2} < x < 4 \sqrt{2}.\)

Собираем всё вместе: $$ \begin{cases} |x| \geqslant \sqrt{7} \\ |x| < 4 \sqrt{2} \\ x \neq \pm 4 \end{cases} $$ Получаем, что \(x \in \left( -4 \sqrt{2} ; \, -4 \right) \cup \left( -4 ; \, -\sqrt{7} \right] \cup \left[ \sqrt{7}; \, 4 \right) \cup \left( 4; \, 4 \sqrt{2} \right).\)

Ответ: \(\left( -4 \sqrt{2} ; \, -4 \right) \cup \left( -4 ; \, -\sqrt{7} \right] \cup \left[ \sqrt{7}; \, 4 \right) \cup \left( 4; \, 4 \sqrt{2} \right)\)