Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 8

ОДЗ: \(x^2 \geqslant 5 \, \Rightarrow \) \( |x| \geqslant \sqrt{5} .\) Кроме того, \(1 - \sqrt{x^2 -5} \neq 0 \, \Rightarrow \) \( x^2 \neq 6 \, \Rightarrow \) \( x \neq \pm \sqrt{6}.\)

Замена \( t = \sqrt{x^2 - 5} .\) Тогда, $$t > 3 + \frac{1}{1 - t}$$ $$3 - t + \frac{1}{1-t} < 0$$ $$\frac{(3-t) (1-t) + 1}{1 - t} < 0$$ $$\frac{t^2 - 4t + 4}{1 - t} < 0$$ $$\frac{(t-2)^2}{1-t} < 0$$ Получаем, что $$ \begin{cases} t \neq 2 \\ t - 1 > 0 \end{cases} $$ Первое условие: \( t \neq 2 \, \Rightarrow \) \( \sqrt{x^2 - 5} \neq 2 \, \Rightarrow \) \(x^2 \neq 9 \, \Rightarrow \) \( x \neq \pm 3.\)

Второе условие: \(t > 1 \, \Rightarrow \) \( \sqrt{x^2 - 5} > 1 \, \Rightarrow \) \( x^2 > 6 \, \Rightarrow \) \( |x| > \sqrt{6}.\)

Собираем всё вместе: $$ \begin{cases} |x| \geqslant \sqrt{5} \\ x \neq \pm 3 \\ |x| > \sqrt{6} \end{cases} $$ Отсюда получаем, что \(x \in \left( - \infty ; \, -3 \right) \cup \left( -3; \, - \sqrt{6} \right) \cup \left( \sqrt{6} ; \, 3 \right) \cup \left( 3 ; \, + \infty \right) . \)

Ответ: \(\left( - \infty ; \, -3 \right) \cup \left( -3; \, - \sqrt{6} \right) \cup \left( \sqrt{6} ; \, 3 \right) \cup \left( 3 ; \, + \infty \right)\)