Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 9

ОДЗ: \(x^4 > 0 \, \Rightarrow\) \(x \neq 0.\) И \(100 - x^2 \neq 0 \, \Rightarrow\) \( x \neq \pm 10;\)

Так как \(\log_{0{,}5} \left( x^4 \right) = - 4 \log_2 \left( |x| \right),\) то наше неравенство можно преобразовать следующим образом: $$\frac{16 \log_2^2 \left( |x| \right) - x^2}{100 - x^2} - 1 \leqslant 0$$ $$\frac{4 \log_2^2 \left( |x| \right) - 25}{100 - x^2} \leqslant 0$$ $$\frac{\left( 2 \log_2 \left( |x| \right) - 5\right) \left( 2 \log_2 \left( |x| \right) + 5 \right)}{(10 - x) (10 + x)} \leqslant 0$$ Находим корни выражений в скобках, которые стоят в числителе: \( \log_2 \left( |x| \right) = \cfrac{5}{2} \, \Rightarrow \) \( |x| = 2^{\frac{5}{2}} \, \Rightarrow \) \( x = \pm 4 \sqrt{2}.\) Также \( \log_2 \left( |x| \right) = -\cfrac{5}{2} \, \Rightarrow \) \( |x| = 2^{-\frac{5}{2}} \, \Rightarrow \) \( x = \pm \cfrac{1}{4 \sqrt{2}}.\)

Отмечаем особые точки и корни на числовой оси и вычисляем знак выражения на каждом интервале:

Ответ: \(\left( - \infty ; \, -10 \right) \cup \left[ -4 \sqrt{2} ; \, - \cfrac{1}{4 \sqrt{2}} \right] \cup \left[ \cfrac{1}{4 \sqrt{2}} ; \, 4 \sqrt{2} \right] \cup \left( 10 ; \, + \infty \right)\)