Задание 15. Математика. ЕГЭ. Статград. 02.10.2024-1

Заметим, что $$\frac{2x^4 - 8x^3 + 8x^2}{x^2 +x - 6} = \frac{2x^2 (x^2 - 4x - 4)}{(x-2)(x+3)} = \frac{2x^2 (x-2)^2}{(x-2)(x+3)}$$ и при \(x \neq 2\) $$\frac{2x^4 - 8x^3 + 8x^2}{x^2 +x - 6} = \frac{2x^2 (x-2)}{x+3}.$$ В дальнейших вычислениях подразумеваем, что \(x \neq 2,\) \(x \neq -3.\) В этом случае неравенство из условия задачи преобразуется следующим образом: $$\frac{2x^3 - 4x^2}{x + 3} - \frac{x^3 - 2x^2 - 2x - 7}{x+3} - \frac{x+3}{x+3} \geqslant 0$$ $$\frac{x^3 - 2x^2 + x + 4}{x + 3} \geqslant 0$$ Легко заметить, что \(x = -1\) является корнем многочлена \(x^3 - 2x^2 + x + 4.\) Неравенство можно записать так: $$\frac{(x+1)(x^2 - 3x + 4)}{x + 3} \geqslant 0$$ А так как \(x^2 -3x + 4 >0\) для любых действительных \(x\) \((D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 < 0),\) получаем, что неравенство из условия задачи в предположении \(x \neq 2\) эквивалентно неравенству $$\frac{x+1}{x+3} \geqslant 0$$ решением которого является множество \((-\infty; \, -3) \cup [-1; \, 2) \cup (2; \, +\infty).\)

Ответ: \((-\infty; \, -3) \cup [-1; \, 2) \cup (2; \, +\infty)\)