Задание 15. Математика. ЕГЭ. Статград. 11.02.2025-1

ОДЗ: \(-1 < x < 3\) и \(x \neq 0.\)

Так как \(\log_3 x^2 = 2 \log_3 |x|,\) то \(\log_3^2 x^2 = 4 \log_3^2 |x|.\) Рассмотрим знаменатель неравенства. $$\log_3^2 x^2 + \log_3 x^4 + 1 = 4 \log_3^2 |x| + 4 \log |x| + 1 = (2 \log_3 |x| + 1 )^2 = (\log_3 x^2 + 1)^2$$ Чтобы найти в каких точках он обращается в ноль, решим уравнение $$\log_3 x^2 + 1 = 0 \, \Rightarrow \, \log_3 x^2 = \log_3 \frac{1}{3} \, \Rightarrow \, x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$ Т.о. за исключением точек \(x = 0\) и \(x = \pm \cfrac{1}{\sqrt{3}}\) знаменатель положителен. Значит на ОДЗ там где знаменатель не обращается в ноль неравенство из условия задачи эквивалентно неравенству $$\log_3 \frac{3-x}{x+1} \geqslant 0 \, \Rightarrow \, $$ $$\frac{3 - x}{x + 1} \geqslant 1 \, \Rightarrow \, \frac{2 (x-1)}{x + 1} \leqslant 0.$$ Последнее неравенство имеет решение \((-1; \, 1]\). Исключая из этого интервала точки, в которых знаменатель не определён или равен нулю и учитывая ОДЗ, окончательно получаем, что решением неравенства из условия задачи является множество \(\left( -1; \, - \cfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \cup \left( - \cfrac{1}{\sqrt{3}} ; \, 0 \right) \cup \left( 0; \, \cfrac{1}{\sqrt{3}} \right) \cup \left( \cfrac{1}{\sqrt{3}}; \, 1 \right].\)

Ответ: \(\left( -1; \, - \cfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \cup \left( - \cfrac{1}{\sqrt{3}} ; \, 0 \right) \cup \left( 0; \, \cfrac{1}{\sqrt{3}} \right) \cup \left( \cfrac{1}{\sqrt{3}}; \, 1 \right]\)