Задание 15. Математика. ЕГЭ. Статград. 19.12.2024-1

Сделаем замену \(t = 3^x.\) Тогда неравенство из условия задачи запишется в виде $$\frac{t^2 -12 t + 18}{t - 9} + \frac{6t - 32}{t - 7} \geqslant t + 3$$ В предположении, что \(t \neq 7\) и \(t \neq 9\) это неравенство можно преобразовать следующим образом: $$\frac{t^2 - 12t + 27 - 9}{t - 9} + \frac{6t - 42 + 10}{t - 7} \geqslant t + 3$$ $$\frac{(t-9)(t-3)}{t-9} - \frac{9}{t - 9} + \frac{6(t-7)}{t-7} + \frac{10}{t-7} \geqslant t + 3$$ $$\frac{10}{t-7} - \frac{9}{t-9} \geqslant 0 \, \Rightarrow \, \frac{t - 27}{(t-7)(t-9)} \geqslant 0$$ Решением последнего неравенства является \((7; \, 9) \cup [27; \, +\infty).\)

Обратная замена. Если \( 7 < t < 9,\) то \(3^{\log_3 7} < 3^x < 3^2.\) Отсюда \(\log_3 7 < x < 2.\) Если же \(x \geqslant 27,\) то \(3^x \geqslant 3^3.\) Значит \(x \geqslant 3.\)

Ответ: \((\log_3 7; \, 2) \cup [3; \, +\infty)\)