Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 17. Вариант 3
- Просмотры: 464
- Изменено: 30 января 2025
Окружность, построенная на стороне \( AD \) параллелограмма \( ABCD \) как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
а) Докажите, что \( ABCD \) - ромб.
б) Эта окружность пересекает сторону \( AB \) в точке \( M \), причём \( AM : MB = 1 : 2 \). Найдите диагональ \( AC \), если известно, что \( AD = 2 \sqrt{3} \).
Решение:
а) Пусть \(O\) - точка пересечения диагоналей параллелограмма \( ABCD \). Так как \( AD \) - диаметр окружности, проходящей через \( O \), то треугольник \( AOD \) - прямоугольный, \( \angle AOD = 90^\circ \). Значит диагонали параллелограмма \( ABCD \) пересекаются под прямым углом, поэтому \( ABCD \) - ромб.
б) \( AM = \dfrac{1}{3} AB = \dfrac{1}{3} AD = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} \). Треугольник \( AMD \) - прямоугольный. $$ \cos \angle MAD = \dfrac{AM}{AD} = \dfrac{1}{3}. $$ Далее, \( \angle MAD = 2 \angle OAD \) (диагонали ромба являются биссектрисами его углов). Поэтому, $$ \cos^2 \angle OAD = \frac{\cos \angle MAD + 1}{2} = \frac{2}{3}, \quad \Rightarrow \quad \cos \angle OAD = \sqrt{\frac{2}{3}}. $$ $$ AO = AD \cos \angle OAD = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad AC = 2 \cdot AO = 4 \sqrt{2}. $$
Ответ: б) \(4 \sqrt{2}\).
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования