Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 17. Вариант 4
- Просмотры: 767
- Изменено: 1 февраля 2025
На отрезке \( BD \) взята точка \( C \). Биссектриса \( BL \) равнобедренного треугольника \( ABC \) с основанием \( BC \) является боковой стороной равнобедренного треугольника \( BLD \) с основанием \( BD \).
а) Докажите, что треугольник \( DCL \) равнобедренный.
б) Известно, что \( \cos \angle ABC = \dfrac{3}{4} \). В каком отношении прямая \( DL \) делит сторону \( AB \)?
Решение:
а) Обозначим \( \angle LBC = \angle LBA = \angle LDB =\alpha \). Тогда \( \angle ABC = \angle ACB = 2 \alpha \). Угол \( ACB \) - внешний для треугольника \( DCL \). Поэтому \( 2 \alpha = \angle LCB = \angle CLD + \angle CDL = \angle CLD + \alpha \). Поэтому \( \angle CLD = \angle CDL = \alpha \) и, значит, треугольник \( DCL \) - равнобедренный.
б) Так как \( \cos \angle ABC = \dfrac{3}{4} \), то \( AB : BC = 2 : 3 \). Пусть \( AB = 2x\), \( BC = 3x \). Из того, что \( BL \) - биссектриса, следует, что \( AL : LC = 2 : 3 \), т.е. \( 2z + 3z = 2x \), \( z = \dfrac{2x}{5} \), \( AL =\dfrac{2}{5} AB \).
\( \angle ALK = \angle CLD = \alpha \) как вертикальные. Отсюда треугольники \( ALK \) и \(ABL \) подобны по двум углам (угол \( A \) - общий). Поэтому \( \dfrac{AL}{AB} = \dfrac{AK}{AL} \), значит \( AL^2 = AB \cdot AK \) $$ \frac{4}{25} \cdot AB^2 = AB \cdot AK \quad \Rightarrow \quad AK = \frac{4}{25} AB $$ $$ BK = \left( 1 - \frac{4}{25} \right) AB = \frac{21}{25} AB $$ Поэтому \( AK : BK = 4 : 21 \).
Ответ: б) \( 4 : 21 \).
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования