Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 17. Математика. ЕГЭ 2025. Основная волна. 27.05.2025
- Просмотры: 798
- Изменено: 27 мая 2025
Дан остроугольный треугольник \(ABC.\) Известно, что \(\angle BAC = 2 \angle ABC.\) Точка \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(ABC.\) Вокруг треугольника \(AOC\) описана окружность, которая пересекает сторону \(BC\) в точке \(P.\)
- а) Докажите, что треугольники \(ABC\) и \(PAC\) подобны.
- б) Найдите \(AB,\) если \(BC = 6\) и \(AC = 4.\)
Решение:
а) Пусть \(\angle ABC = \beta,\) тогда \(\angle BAC = 2 \beta.\) Далее \(\angle AOC = 2 \angle ABC = 2 \beta\) по теореме о центральном и вписанном угле, опирающихся на одну хорду. Рассматривая окружность, описанную около треугольника \(AOC\) получаем, что \(\angle APC = \angle AOC = 2 \beta ,\) как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. Окончательно, в треугольниках \(ABC\) и \(PAC\) угол \(C\) общий, а \(\angle BAC = \angle APC = 2 \beta .\) Значит \(\triangle ABC \sim \triangle PAC\) ч.т.д.
б) Из доказанного в части а) подобия треугольников получаем, что $$\frac{AB}{PA} = \frac{AC}{PC} = \frac{BC}{AC}$$ Отсюда $$PC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{8}{3}, \quad BP = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$$ Далее \(\angle PAC = \beta ,\) значит \(AP\) — биссектриса угла \(BAC,\) \(\angle BAP = \beta .\) Поэтому \(\triangle ABP\) — равнобедренный и \(BP = AP = \cfrac{10}{3}.\) Получаем, что $$AB = \frac{AP \cdot AC}{PC} = \frac{10 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 8} = 5$$
Ответ: б) \(5\)
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования