Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-22

а) Пусть прямая \(KL\) пересекает сторону \(AB\) в точке \(F.\) Из условия задачи получаем: \(AK = \cfrac{1}{4} AC = \cfrac{1}{2} AO = KO,\) \(OL = \cfrac{1}{3} BO,\) \(LD = \cfrac{1}{3} BD.\) Далее, \(\triangle KFA \sim \triangle BOA\) по двум углам: они прямоугольные и угол \(A\) у них общий. Поэтому \(\angle ABO = \angle AKF.\) Теперь $$\cos \angle ABO = \frac{BF}{BL} = \frac{3BF}{2 BD} = \frac{BO}{AB} = \frac{BD}{2 AB} \, \Rightarrow \, \cos^2 \angle ABO = \frac{3 BF}{4 AB}$$ $$\sin \angle ABO = \frac{AO}{AB} = \frac{AC}{2 AB} = \frac{AF}{AK} = \frac{4 AF}{AC} \, \Rightarrow \, \sin^2 \angle ABO = \frac{2 AF}{AB}$$ Учитывая, что \(AF + FB = AB,\) получаем $$1 = \frac{2 AF}{AB} + \frac{3 BF}{4 AB} = \frac{8 AF + 3 BF}{4 AB} = \frac{5 AF}{4 AB} + \frac{3}{4}$$ Отсюда $$\frac{AF}{AB} = \frac{1}{5} \, \Rightarrow \, BF = \frac{4}{5} AB \, \Rightarrow \, \frac{AF}{BF} = \frac{1}{4}.$$

б) $$\tan \angle ABO = \frac{AO}{BO} = \frac{LO}{KO} = \frac{2 BO}{3 AO} \, \Rightarrow \, 3 AO^2 = 2 BO^2.$$ С другой стороны, $$36 = KL^2 = KO^2 + LO^2 = \left( \frac{AO}{2} \right)^2 + \left( \frac{BO}{3} \right)^2 \, \Rightarrow \, 9 AO^2 + 4 BO^2 = 36^2$$ Отсюда получаем, что $$BO^2 = \frac{36^2}{10}, \,\, AO^2 = \frac{2 BO^2}{3} = \frac{2 \cdot 36^2}{3 \cdot 10},$$ $$AB^2 = AO^2 + BO^2 = \frac{2 \cdot 36^2}{3 \cdot 10} + \frac{3 \cdot 36^2}{3 \cdot 10} = 36 \cdot 6 \, \Rightarrow \, AB = 6 \sqrt{6}$$

Ответ: б) \(6 \sqrt{6}\)