Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-26

а) \(AB \parallel KN \, \Rightarrow \, \angle APK = \angle NKP\) как накрест лежащие при параллельных прямых. С другой стороны, по условию \(\angle NKP = \angle AKP.\) Значит, \(\triangle AKP\) равнобедренный: \(AK = AP.\) Аналогично доказывается, что \(\triangle MBP\) равнобедренный и \(BP = BM.\) Так как по условию \(AB = KL\) и из того, что \(AP = AK,\) делаем вывод, что \(AL = PB = BM.\) Но тогда из теоремы Фалеса следует, что $$\frac{AL}{MB} = \frac{AK}{BN} = 1,$$ т.е. \(AK = BN\) и значит \(KL = NM.\)

б) Пусть \(\angle LKN = \alpha.\) Тогда \(\angle KAP = 180^\circ - \alpha.\) Так как трапеция \(KLMN\) равнобедренная, то \(\angle KNB = \angle PBM = \alpha.\) Пусть \(AP = 3x,\) тогда \(BP = 2x.\) По теореме косинусов получаем следующие выражения: $$KP^2 = AK^2 + AP^2 - 2 \cdot AK \cdot AP \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = 9x^2 +9 x^2 + 18x^2 \cos \alpha = 18x^2 (1 + \cos \alpha),$$ $$MP^2 = BP^2 + BM^2 - 2 \cdot BP \cdot BM \cdot \cos \alpha = 4x^2 + 4x^x - 8x^2 \cos \alpha = 8x^2 (1 - \cos \alpha).$$ Поэтому $$\frac{KP^2}{MP^2} = \frac{16}{9} = \frac{9(1 + \cos \alpha)}{4 (1 - \cos \alpha)}.$$ Отсюда находим, что \(\cos \angle LKN = \cos \alpha = - \cfrac{17}{145}.\)

Ответ: б) \(- \cfrac{17}{145}\)