Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-14

а) Продлим отрезки \(AB\) и \(DE\) до их пересечения в точке \(F.\) В треугольнике \(AFD\) отрезок \(BE\) параллелен стороне \(AD\) и равен её половине. Значит \(BE\) — средняя линия и \(AB = BF,\) \(DE = EF.\) Но в этом случае перпендикуляры \(KB\) и \(KE\) являются серединными перпендикулярами, а точка \(K\) — центр описанной окружности около треугольника \(ADB.\) Значит, \(AK = FK = KD.\) Ч.т.д.

б) Опустим перпендикуляр \(KH\) на сторону \(AD.\) Так как треугольник \(AKD\) равнобедренный, то \(KH\) будет ещё и медианой: \(AH = HD.\) По условию \(E\) — середина \(BC.\) Отсюда \(KH = EC = BE = AH = HD.\) Треугольник \(KDH\) с одной стороны прямоугольный, с другой стороны равнобедренный. Значит \(\angle KDH = 45^\circ .\) Но из свойств равнобедренного треугольника \(AKD\) сразу следует, что \(\angle KAD = \angle KDA = 45^\circ .\)

\(\angle BAD = 180^\circ - \angle ADC = 70^\circ ,\) по свойству углов параллелограмма. Но тогда рассматривая равнобедренный треугольник \(FKA\) получаем, что \(\angle KAF = \angle AFK = 70^\circ - 45^\circ = 25^\circ .\)

Пусть \(\angle KFD = \angle FDK = x.\) Тогда рассматривая треугольник \(AFD\) находим, что сумма его углов $$\angle FAK + \angle AFK + \angle KFD + \angle FDK + \angle KDA + \angle DAK = 25^\circ + 25^\circ + x + x + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ$$ $$2x = 40^\circ, \quad x = 20^\circ $$ Значит \(\angle ADE = \angle BAD = x + 45^\circ = 20^\circ + 45^\circ = 65^\circ .\)

Ответ: б) \(65^\circ .\)