Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-15
- Просмотры: 737
- Изменено: 30 апреля 2026
В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса угла \(BAD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K,\) а продолжение стороны \(CD\) — в точке \(P;\) диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(KAD.\)
- а) Докажите, что \(PC^2 = CD \cdot PK.\)
- б) Найдите \(AC : AP,\) если \(BC : AB = 2{,}5.\)
Решение:
а) \(\angle BAK = \angle KAD,\) т.к. \(AK\) — биссектриса угла \(BAD.\) С другой стороны, \(\angle KAD = \angle BKA,\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AK.\) Значит \(\angle BAK = \angle BKA,\) а треугольник \(BKA\) является равнобедренным: \(AB = BK = x.\)
\(\angle BKA = \angle CKP\) как вертикальные, \(\angle CPA = \angle BAP\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(AB\) и \(PC\) и секущей \(PA.\) Имеем: \(\angle CKP = \angle CPK,\) треугольник \(CKP\) — равнобедренный, \(CK = CP = y.\)
\(\angle KAC = \angle CAD,\) т.к. \(CA\) — биссектриса угла \(KAD.\) С другой стороны \(\angle KCA = \angle DAC,\) как накрест лещажие при параллельных прямых \(KC\) и \(AD\) и секущей \(AC.\) Отсюда, \(\angle KAC = \angle KCA,\) треугольник \(KCA\) — равнобедренный, \(KC = KA = y.\)
\(\triangle BAK \sim \triangle CPK\) по двум углам. Отсюда $$\frac{PK}{PC} = \frac{AK}{AB} = \frac{PC}{CD} \,\, \Rightarrow \,\, PC^2 = CD \cdot PK.$$
б) Так как $$\frac{BC}{AB} = \frac{x+y}{x} = \frac{5}{2},$$ то \(y = \cfrac{3x}{2}.\) Обозначим \(\alpha = \angle ADP = \angle ABK.\) По теореме косинусов из треугольника \(ABK\) получаем, что $$y^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos \alpha$$ $$\frac{9x^2}{4} = 2x^2 (1 - \cos \alpha )$$ $$1 - \cos \alpha = \frac{9}{8}, \,\, \cos \alpha = 1 - \frac{9}{8} = - \frac{1}{8}$$ Из треугольника \(ADP\) по теореме косинусов имеем $$AP^2 = 2 \cdot \left( \frac{5x}{2} \right)^2 - 2 \cdot \left( \frac{5x}{2} \right)^2 \cdot \cos \alpha = \frac{25x^2}{2} (1 - \cos \alpha) = \frac{25 \cdot 9 \cdot x^2}{16}$$ Рассматривая теперь треугольник \(ADC\) по теореме косинусов находим, что $$AC^2 = x^2 + \left( \frac{5x}{2} \right)^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{5x}{2} \cos \alpha = x^2 \cdot \left( \frac{29}{4} - 5 \cdot \left( - \frac{1}{8} \right) \right) = \frac{63x^2}{8}$$ Окончательно $$\left( \frac{AC}{AP} \right)^2 = \frac{63}{8} : \frac{9 \cdot 25}{16} = \frac{14}{25}$$ $$\frac{AC}{AP} = \frac{\sqrt{14}}{5}$$
Ответ: б) \(\cfrac{\sqrt{14}}{5}\)
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования