Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-18
- Просмотры: 1098
- Изменено: 30 апреля 2026
В треугольнике \(ABC\) точки \(N\) и \(P\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Отрезок \(NP\) касается окружности, вписанной в треугольник \(ABC.\)
- а) Докажите, что периметр треугольника \(ABC\) равен \(4AC.\)
- б) Найдите площадь треугольника \(ABC,\) если его периметр равен \(24,\) \(\angle BAC =60^\circ .\)
Решение:
а) \(NP\) — средняя линия, значит \(2 NP = AC.\) По условию четырёхугольник \(ANPC\) описанный, значит \(AN + PC = NP + AC.\) Отсюда \(2AN + 2PC = AB + BC = 3 AC.\) Значит, \(P_{ABC} = AB + BC + AC = 3AC + AC = 4 AC.\)
б) \(P_{ABC} = 24 \Rightarrow AC = 6, \,\, AB + BC = 18, \Rightarrow BC = 18 - AB.\) По теореме косинусов $$(18 - AB)^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ$$ $$18^2 - 36AB + AB^2 = AB^2 + 6^2 - 6AB \,\, \Rightarrow \,\, 30AB = 12 \cdot 24 \,\, \Rightarrow \,\, AB = \cfrac{48}{5}$$ Значит \(S_{ABC} = \cfrac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin 60^\circ = \cfrac{72 \sqrt{3}}{5}. \)
Ответ: \(\cfrac{72 \sqrt{3}}{5}\)
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования