Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-19

а) Прямая, проходящая через точку \(P\) и отрезок \(EF\) лежат по разные стороны от диагонали \(AC,\) иначе четырёхугольник \(EBPF\) выродится в треугольник \(EBF.\) Так как \(BE = BF,\) то \(EF \perp BD.\) Пусть сторона квадрата \(AB = a.\) Тогда $$S_{EBFP} = \frac{1}{2} BP \cdot EF = \frac{1}{2} BP \cdot \sqrt{2} BE = \frac{\sqrt{2}}{2} BP \cdot BE = \frac{a^2}{4}$$ И если \(BP \cdot BE = \sqrt{2},\) то \(\cfrac{a^2}{4} = 1.\) Значит \(a = AB = 2.\)

б) Пусть прямая, параллельная \(AC\) и проходящая через точку \(P\) пересекает стороны квадрата \(DA\) и \(DC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Тогда, \(DM = DN\) (по теореме Фалеса). Значит $$S_{DMN} = \frac{DM^2}{2} = \frac{a^2}{4} \Rightarrow DM = \frac{a}{\sqrt{2}}$$ Далее, \(BD = a \sqrt{2},\) \(DP = DM \cos 45^\circ = \cfrac{a}{\sqrt{2}} \cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2} = \cfrac{a}{2}.\) Значит, \(BP = a \sqrt{2} - \cfrac{a}{2} = a \left( \sqrt{2} - \cfrac{1}{2} \right).\) Пусть \(EB = x,\) тогда \(EF = x \sqrt{2}\) и $$S_{EBFP} = \frac{1}{2} BP \cdot EF = ax \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \sqrt{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{a^2}{4}$$ Отсюда $$x = \frac{a}{4 - \sqrt{2}} .$$ Площади треугольников \(EBF\) и \(EPF\) равны соответственно $$S_{EBF} = \frac{1}{2} x^2 = \frac{a^2}{2 (4 - \sqrt{2})^2}$$ $$S_{EPF} = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2 (4 - \sqrt{2})^2} = a^2 \left( \frac{(4 - \sqrt{2})^2 - 2}{4 (4 - \sqrt{2})^2} \right)$$ Отсюда $$\frac{S_{EPF}}{S_{EBF}} = \frac{(4 - \sqrt{2})^2 - 2}{2} = \frac{16 - 8 \sqrt{2}}{2} = 4 (2 - \sqrt{2})$$

Ответ: \(4 (2 - \sqrt{2})\)