Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Досрочный экзамен. 27.03.2026

а) \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC.\) Поэтому \(ML \parallel AC\) и, значит, \(ML \perp BC.\) Отсюда получаем, что \(\angle MLA = \angle LAC\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(AC\) и \(ML.\) Но, по условию \(\angle LAC = \angle LAM,\) отсюда \(\angle LAM = \angle MLA\) и поэтому \(\triangle AML\) — равнобедренный: \(MA = ML.\) Но это означает, что точка \(L\) лежит на окружности, описанной около треугольника \(ABC.\) И поэтому \(\angle ALB = \angle ACB = 90^\circ .\)

Так как \(ML \perp BC\) и \(N\) — середина \(BC,\) то \(LN\) — серединный перпендикуляр к отрезку \(BC,\) а значит \(LC = LB\) и треугольник \(BLC\) тоже равнобедренный, а \(\angle LCB = \angle LBC.\) Но \(\angle LBC = \angle LAC,\) как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду \(LC.\) Вспоминая, что по условию \(\angle LAC = \angle LAM,\) получаем, что равнобедренные треугольники \(AML\) и \(BLC\) подобны по двум углам, прилежащим к их основаниям.

б) Так как \(\cos \angle BAC = \cfrac{7}{25},\) то \(AC = 14x,\) \(AB = 50x,\) где \(x\) — некоторое положительное число. Тогда \(MA = ML = 25 x.\) Теперь $$\sin \angle BAL = \sqrt{\frac{1 - \cos \angle BAC}{2}} = \frac{3}{5}$$ $$BL = AB \cdot \sin \angle BAL = 50 x \cdot \frac{3}{5} = 30 x$$ Из подобия треугольников \(AML\) и \(BLC\) следует, что \(\angle AML = \angle BLC,\) и поэтому $$\frac{S_{AML}}{S_{BLC}} = \frac{MA \cdot ML \cdot \sin \angle AML}{BL \cdot CL \cdot \sin \angle BLC} = \cfrac{25^2}{30^2} = \frac{25}{36}$$

Ответ: б) \(\cfrac{25}{36}.\)