Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Основная волна. 8.06.2026

а) Так как \(\triangle ABC\) — прямоугольный, то \(AB\) — диаметр описанной около него окружности. Пусть точка \(O\) — центр этой окружности, она же середина \(AB.\) Тогда \(OC = OQ = R.\) Так как \(AH = BP,\) то \(OH = OP.\) Поэтому прямоугольные треугольники \(CHO\) и \(QPO\) равны по гипотенузе и катету. Отсюда \(\angle COH = \angle QOP.\) Но тогда \(\triangle COA = \triangle QOB\) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда \(AC = QB.\) Из этого получаем, что \(\angle CBA = \angle BCQ\) как вписанные углы, опирающиеся на равные хорды. Эти углы являются накрест лежащими для прямых \(AB\) и \(CQ\) и секущей \(CB.\) Значит, \(CQ \parallel AB,\) т.е. \(ACQB\) — равнобедренная трапеция. Ч.т.д.

б) Выше было доказано, что \(CQ \parallel AB.\) А т.к. \(QP \perp AB\) по условию, то \(QP \perp CQ.\) Т.е. \(\angle CQP = \angle CQT = 90^\circ.\) Поэтому треугольник \(CQT\) — прямоугольный, а значит \(CT\) — это диаметр окружности, описанной около него. Но эта окружность описана и около \(\triangle ABC,\) поэтому \(CT\) проходит через точку \(O.\) Значит, \(CT = AB = 13.\) По теореме Пифагора $$QT = \sqrt{CT^2 - CQ^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$$

Ответ: б) \(12\)