Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Статград 10.02.26

а) Прямоугольные треугольники \(EDC\) и \(KBC\) равны по двум катетам: \(DC = BC\) как стороны квадрата, \(ED=KB\) как половины сторон квадрата. Отсюда \(CE = CK\) и \(\triangle EKC\) — равнобедренный. Тогда \(\angle CEK = \angle CKE.\) Далее, \(\angle PEM = \angle MKP,\) как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду \(PM.\) Но тогда \(\angle MEK = \angle PEK - \angle PEM = \angle MKE - \angle MKP = \angle PKE.\) С другой стороны \(\angle MEK = \angle MPK\) как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду \(MK.\) Значит, \(\angle EKP = \angle MPK,\) поэтому \(EK \parallel MP.\) Ч.т.д.

б) Пусть сторона квадрата \(BC = 2x.\) Тогда \(BK = x\) и \(CK = \sqrt{x^2 + 4x^2} = x \sqrt{5}.\) Теперь \(EK = \sqrt{x^2 + x^2} = x \sqrt{2}.\) Медиана \(CH\) равнобедренного треугольника \(CEK,\) проведённая к основанию \(EK,\) является также и высотой. Получаем, что $$KH = \cfrac{EK}{2} = \cfrac{x}{\sqrt{2}},$$ $$CH = \sqrt{5x^2 - \cfrac{x^2}{2}} = \frac{3x}{\sqrt{2}},$$ $$\sin \angle CKH = \frac{CH}{CK} = \frac{3x}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} x} = \frac{3}{\sqrt{10}}.$$ По теореме синусов $$ME = 2R \cdot \sin \angle CKE = 10 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = 3 \sqrt{10}$$

Ответ: б) \(3 \sqrt{10}.\)