Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Статград 18.12.25
- Просмотры: 818
- Изменено: 15 февраля 2026
В треугольнике \(ABC\) все стороны различны. Прямая, содержащая высоту \(BH\) треугольника \(ABC,\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(K.\) Отрезок \(BN\) — диаметр этой окружности.
- а) Докажите, что прямые \(AC\) и \(KN\) параллельны.
- б) Найдите расстояние от точки \(N\) до прямой \(AC,\) если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(10 \sqrt{6},\) \(\angle BAC = 30^\circ ,\) \(\angle ABC = 105^\circ .\)
Решение:
а) По условию \(\angle BHC = 90^\circ .\) С другой стороны, так как \(BN\) — диаметр, то \(\triangle BKN\) прямоугольный и \(\angle BKN = 90^\circ .\) Две прямые \(AC\) и \(KN\) перпендикулярны прямой \(BK.\) Значит \(AC \parallel KN.\)
б) \(\angle BCA = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 45^\circ.\) Так как треугольник \(BHC\) прямоугольный, то тогда он ещё и равнобедренный: \(HC = HB.\) Далее, \(\angle BAC = \angle BKC\) как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду \(BC.\) Поэтому прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(KCH\) равны по катету и острому углу. Отсюда, \(KH = AH.\) Расстояние от точки \(N\) до прямой \(AC\) — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую \(AC.\) Так как \(KN \parallel AC,\) то это расстояние равно длине отрезка \(KH.\)
Теперь, по теореме синусов \(AB = 2r \cdot \sin \angle ACB = 20 \sqrt{6} \cdot \cfrac{1}{\sqrt{2}} = 20 \sqrt{3}.\) Поэтому $$AH = AB \cos 30^\circ = 20 \sqrt{3} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2} = 30.$$
Ответ: \(30\)
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования