Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Статград. 22.04.2026
- Просмотры: 1696
- Изменено: 23 апреля 2026
В тупоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) тупой. Точка \(P\) лежит вне треугольника \(ABC.\) \(BP\) и \(CP\) — перпендикуляры к сторонам \(AB\) и \(AC\) соответственно, причём \(CP\) пересекает сторону \(AB.\) Высота \(CH\) треугольника \(ACP\) пересекает отрезок \(AB\) в точке \(K.\)
- а) Докажите, что острые углы \(ABC\) и \(ACH\) равны.
- б) Найдите длину стороны \(AC,\) если \(AK = 6,\) \(BK = 18.\)
Решение:
а) Треугольники \(PBA\) и \(PCA\) — прямоугольные по условию. У них общая гипотенуза \(PA.\) Это значит, что окружность, построенная на этой гипотенузе как на диаметре проходит через вершины \(B\) и \(C\) этих треугольников. Но тогда \(\angle APC = \angle ABC\) как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду \(AC.\)
Далее, \(\triangle APC \sim \triangle ACH\) по двум углам: они оба прямоугольные и имеют общий угол \(A.\) Значит \(\angle APC = \angle ACH.\) Но выше было доказано, что \(\angle APC = \angle ABC.\) Значит, \(\angle ABC = \angle ACH.\) Ч.т.д.
б) Треугольники \(ABC\) и \(ACK\) подобны по двум углам: у них общий угол \(A\) и \(\angle ABC = \angle ACK\) (было доказано в пункте а). Значит $$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AK}$$ $$AC^2 = AB \cdot AK$$ $$AC = \sqrt{AB \cdot AK} = \sqrt{24 \cdot 6} = 12$$
Ответ: \(12\)
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования