Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-1

а) Биссектриса \(DN\) угла \(ADC\) проходит через центр \(O\) вписанной окружности. Так как \(DN \perp BC,\) то точка \(N\) — точка касания вписанной окружности и \(ON = OG = R.\) Прямоугольные треугольники \(BGO\) и \(BNO\) равны по катету \((ON = OG)\) и общей гипотенузе \(OB.\) Значит, \(\angle BOG = \angle BON = 22{,}5^\circ.\) Поэтому $$BN = ON \tan(\angle BON) = \frac{R \sin \left(22{,}5^\circ \right)}{\cos \left( 22{,}5^\circ \right) } = \frac{R \sin \left( 45^\circ \right) }{2 - 2 \sin^2 \left( 22{,}5^\circ \right)} = \frac{R\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \left( \sqrt{2} - 1 \right) R.$$

б) Пусть \(I\) — центр вписанной в четырёхугольник \(BNOG\) окружности. Он лежит на прямой \(OB,\) являющейся биссектрисой углов \(GON\) и \(GBN.\) Если эта окружность касается \(BN\) в точке \(K\) и \(ON\) в точке \(H,\) то \(IH = IK = r,\) \(IKNH\) — квадрат и \(KN = HN = r.\) Так как у прямоугольных треугольников \(OIH\) и \(OBH\) общий острый угол \(O,\) то они подобны. Получаем, что $$\frac{IH}{OH} = \frac{BN}{ON}$$ $$\frac{r}{6 - r} = \frac{\left( \sqrt{2} - 1 \right) 6}{6}$$ $$r = 3 \left( 2 - \sqrt{2} \right)$$

Ответ: б) \(3 \left( 2 - \sqrt{2} \right) .\)