Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-10

а) Если \(AD\) — высота в треугольнике \(BAC,\) то должна быть справедлива теорема Пифагора для треугольников \(BAD\) и \(CAD.\) Проверяем: $$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 72 - 16 = 56$$ $$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 60 - 14 = 56$$ Так как в обоих случаях результаты совпадают, значит \(AD\) — действительно высота в треугольнике \(ABC.\)

б) Пусть \(AE = y,\) \(CE = x.\) Тогда по свойству биссектрисы получаем, что $$\frac{AE}{CE} = \frac{y}{x} = \frac{6 \sqrt{2}}{6} = \frac{AB}{BC}$$ Отсюда \(y = x \sqrt{2}.\)

Треугольник \(ADE\) — прямоугольный, как это следует из доказанного факта в пунке а). Значит $$AE^2 = DE^2 + AD^2$$ $$2x^2 = (x + 2)^2 + 56$$ $$x^2 - 4x - 60 = 0$$ $$(x - 2)^2 = 64$$ $$x_{1,2} = 2 \pm 8$$ По смыслу подходит только положительный корень. Значит \(EC = 10,\) \(EB = 16,\) \(AE = 10 \sqrt{2}.\)

Теперь $$\sin E = \frac{AD}{AE} = \frac{\sqrt{56}}{10 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{5}$$ По теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника \(BAE\) равен $$R = \frac{AB}{2\sin E} = 6 \sqrt{2} \cdot \frac{5}{2 \sqrt{7}} = \frac{15 \sqrt{14}}{7}$$

Ответ: б) \(\cfrac{15 \sqrt{14}}{7}.\)