Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-16

а) \(\angle BAK = \angle KAD,\) т.к. \(AK\) — биссектриса угла \(BAD.\) С другой стороны, \(\angle KAD = \angle BKA,\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AK.\) Значит \(\angle BAK = \angle BKA,\) а треугольник \(BKA\) является равнобедренным: \(AB = BK = x.\)

\(\angle BKA = \angle CKP\) как вертикальные, \(\angle CPA = \angle BAP\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(AB\) и \(PC\) и секущей \(PA.\) Имеем: \(\angle CKP = \angle CPK,\) треугольник \(CKP\) — равнобедренный, \(CK = CP = y.\)

\(\angle KAC = \angle CAD,\) т.к. \(CA\) — биссектриса угла \(KAD.\) С другой стороны \(\angle KCA = \angle DAC,\) как накрест лещажие при параллельных прямых \(KC\) и \(AD\) и секущей \(AC.\) Отсюда, \(\angle KAC = \angle KCA,\) треугольник \(KCA\) — равнобедренный, \(KC = KA = y.\)

\(\triangle BAK \sim \triangle CPK\) по двум углам. Отсюда $$\frac{PK}{PC} = \frac{AK}{AB} = \frac{PC}{CD} \,\, \Rightarrow \,\, PC^2 = CD \cdot PK.$$

б) Так как $$\frac{AB}{BC} = \frac{x}{x+y} = \frac{3}{8},$$ то \(x + y = \cfrac{8x}{3},\) \(y = \cfrac{5x}{3}.\) Обозначим \(\alpha = \angle ADP = \angle ABK.\) По теореме косинусов из треугольника \(ABK\) получаем, что $$y^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos \alpha$$ $$\frac{25x^2}{9} = 2x^2 (1 - \cos \alpha )$$ $$1 - \cos \alpha = \frac{25}{18}, \,\, \cos \alpha = 1 - \frac{25}{18} = - \frac{7}{18}$$ Из треугольника \(ADP\) по теореме косинусов имеем $$AP^2 = 2 \cdot \left( \frac{8x}{3} \right)^2 - 2 \cdot \left( \frac{8x}{3} \right)^2 \cdot \cos \alpha = \frac{2 \cdot 64x^2}{9} (1 - \cos \alpha) = \frac{25 \cdot 64 \cdot x^2}{81}$$ $$AP = \frac{8 \cdot 5 \cdot x}{9}$$ Рассматривая теперь треугольник \(ADC\) по теореме косинусов находим, что $$AC^2 = x^2 + \left( \frac{8x}{3} \right)^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{8x}{3} \cos \alpha = x^2 \cdot \left( \frac{73}{9} - \frac{16}{3} \cdot \left( - \frac{7}{18} \right) \right) = \frac{275x^2}{27}$$ $$AC = \frac{5 \sqrt{33} x}{9}$$ Окончательно $$\frac{AC}{AP} = \frac{5 \sqrt{33}}{9} : \frac{5 \cdot 8}{9} = \frac{\sqrt{33}}{8}$$

Ответ: б) \(\cfrac{\sqrt{33}}{8}\)