Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-2

а) Биссектриса \(DN\) угла \(ADC\) проходит через центр \(O\) вписанной окружности. Так как \(DN \perp BC,\) то точка \(N\) — точка касания вписанной окружности и \(ON = OG = R.\) Прямоугольные треугольники \(BGO\) и \(BNO\) равны по катету \((ON = OG)\) и общей гипотенузе \(OB.\) Значит, \(\angle BOG = \angle BON = 22{,}5^\circ.\) Поэтому $$BG = OG \tan(\angle BOG) = \frac{R \sin \left(22{,}5^\circ \right)}{\cos \left( 22{,}5^\circ \right) } = \frac{R \sin \left( 45^\circ \right) }{2 - 2 \sin^2 \left( 22{,}5^\circ \right)} = \frac{R\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \left( \sqrt{2} - 1 \right) R.$$

б) Пусть \(E\) — центр описанной около четырёхугольник \(BNOG\) окружности. Он является серединой общей гипотенузы \(OB\) равных прямоугольных треугольников \(OBG\) и \(OBN.\) Серединный перпендикуляр \(EH\) к стороне \(ON\) пересекает \(OB\) в точке \(E.\) Прямоугольные треугольники \(OBN\) и \(OEH\) подобны с коэффициентом подобия \(k = 2.\) Пусть \(EH = x.\) Получаем, что $$\frac{EH}{OH} = \frac{BN}{ON}$$ $$\frac{x}{3} = \frac{\left( \sqrt{2} - 1 \right) 6}{6}$$ $$x = 3 \left(\sqrt{2} - 1 \right)$$ Значит, радиус описанной около четырёхугольника \(BNOG\) окружности равен $$EO = \sqrt{3^2 + 3^2 \left( \sqrt{2} - 1 \right)^2 } = 3 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}$$

Ответ: б) \(3 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2}} .\)