Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-4

Замечание. По указанным в задачи данным построить чертёж невозможно. Луч \(BH\) не пересекает окружность, проходящую через точки \(A,\) \(B\) и \(D.\) А, следовательно, на этом луче невозможно отметить точку \(P\) так, что около четырёхугольника \(ABPD\) можно было бы описать окружность (см. второй рисунок ниже). Однако такую точку можно отметить на прямой \(BH.\) При этом случае точка \(B\) будет лежать между точками \(P\) и \(H,\) а четырёхугольник, около которого можно было бы описать окружность, имел бы другой порядок вершин. Это был бы четырёхугольник \(APBD.\) На ход рассуждений во второй части задачи такое расположение вершин не оказывает никакого влияния. Мало того, для вычисления радиуса описанной окружности точка \(P\) не обязательно должна лежать на прямой \(BH.\)

а) Заметим сначала, что угол \(D\) в ромбе \(ABCD\) не может быть острым. Так как в противном случае расстояние от точки \(D\) до любой другой точки ромба, кроме точки \(B\) будет меньше, чем \(DB.\)

Пусть \(BM = 2x, \, CM = 3x\) тогда \(BC = AB = AC = DC = 5x.\) И пусть \(DB = DM = y.\) Рассматривая треугольники \(BCD\) и \(DMC\) по теореме косинусов получаем $$DB^2 = CB^2 + CD^2 - 2 \cdot CB \cdot CD \cdot \cos \angle BCD = CM^2 + CD^2 - 2 \cdot CM \cdot CD \cdot \cos \angle MCD = DM^2 $$ $$25x^2 + 25x^2 - 2 \cdot 25x^2 \cdot \cos \angle C = 9x^2 + 25x^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5x \cdot \cos \angle C$$ $$50x^2 - 34x^2 = 20 x^2 \cdot \cos \angle C$$ $$\cos \angle C = \frac{4}{5}$$ Ч.т.д.

б) Так как около четырёхугольника \(APBD\) (см. замечание выше) можно описать окружность, то эта же окружность будет описана около треугольника \(ABD.\) Значит, для вычисления радиуса этой окружности достаточно сосредоточится на самом треугольнике и не уточнять, где конкретно находится вершина \(P.\) Единственное условие, которое должно выполняться, должно состоять в том, что вершина \(P\) должна лежать на окружности, описанной около треугольника \(ABD.\)

Рассмотрим треугольник \(ABD.\) По теореме косинусов с учётом результата пункта а) получаем $$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A = 10 + 10 - 2 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5} = 4$$ Значит \(BD = 2.\) Далее, $$\sin A = \sqrt{1 - \left( \frac{4}{5} \right)^2 } = \frac{3}{5}$$ Площадь треугольника \(ABD\) равна $$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{3}{5} = 3$$ С другой стороны, площадь этого же треугольника может быть вычислена по формуле $$S_{ABD} = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4 R},$$ где \(R\) — радиус описанной около этого треугольника окружности. Поэтому $$R = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4 S_{ABD}} = \frac{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{5}{3}$$

Ответ: б) \(\cfrac{5}{3}\)