Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-5

а) Пусть одна из окружностей с центром в точке \(O_1\) касается сторон трапеции \(AB,\) \(BC\) и \(AD\) в точках \(P_1,\) \(K_1\) и \(L_1\) соответственно, а вторая окружность с центром в точке \(O_2\) касается сторон \(BC\), \(CD\) и \(AD\) трапеции в точках \(K_2,\) \(P_2\) и \(L_2\) соответственно. Так как обе окружности касаются оснований трапеции, то у них одинаковый радиус, а высота трапеции равна удвоенному радиусу: \(K_1L_1 = K_2 L_2 = 2r.\)

Пусть \(CP_2 = x,\) тогда \(P_2D = 4x,\) \(CD = 5x.\) Опустим из вершин \(B\) и \(C\) перпендикуляры \(BH_1\) и \(CH_2\) на основание \(AD.\) Получаем, что $$CK_2 = CP_2 = x, \,\, DP_2 = DL_2 = 4x, \,\, CK_2 = L_2H_2 = x, \,\, DH_2 = DL_2 - H_2L_2 = 4x - x = 3x$$ Из прямоугольного треугольника \(CDH_2\) по теореме Пифагора находим, что $$CH_2^2 + H_2D^2 = CD^2$$ $$4r^2 + 9x^2 = 25x^2 \, \Rightarrow \, 4r^2 = 16x^2 \, \Rightarrow \, r = 2x.$$ А так как \(x = \cfrac{1}{5} CD,\) немедленно получаем, что $$r = \frac{2}{5} \cdot CD = 0{,}4 \cdot CD$$ Ч.т.д.

б) Так как \(AB = 30,\) то \(x = 6\) и $$AH_1 = 3x = 18$$ $$H_1D = x + 2r + x + 3x = 6 + 24 + 6 + 18 = 54$$ $$AD = AH_1 + H_1D = 18 + 54 = 72$$ Рассматривая прямоугольный треугольник \(BDH_1\) по теореме Пифагора получаем, что $$BD = \sqrt{BH_1^2 + H_1D^2} = \sqrt{24^2 + 54^2} = 6 \sqrt{97}$$ Теперь из прямоугольного треугольника \(ABH_1\) находим, что $$\sin A = \frac{BH_1}{AB} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$$ Тогда площадь треугольника \(ABD\) $$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 72 \cdot \frac{4}{5} = 12 \cdot 72$$ Так как окружность, описанная около трапеции \(ABCD,\) проходит через вершины \(A,\) \(B\) и \(D,\) то она тогда описана и около треугольника \(ABD.\) Поэтому, радиус этой окружности $$R = \frac{AB \cdot BD \cdot AD}{4 S_{ABD}} = \frac{30 \cdot 6 \sqrt{97} \cdot 72}{4 \cdot 12 \cdot 72} = \frac{15 \sqrt{97}}{4}$$

Ответ: б) \(\cfrac{15 \sqrt{97}}{4}.\)