Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-6

а) Пусть одна из окружностей с центром в точке \(O_1\) касается сторон трапеции \(AB,\) \(BC\) и \(AD\) в точках \(P_1,\) \(K_1\) и \(L_1\) соответственно, а вторая окружность с центром в точке \(O_2\) касается сторон \(BC\), \(CD\) и \(AD\) трапеции в точках \(K_2,\) \(P_2\) и \(L_2\) соответственно. Так как обе окружности касаются оснований трапеции, то у них одинаковый радиус, а высота трапеции равна удвоенному радиусу: \(K_1L_1 = K_2 L_2 = 2r.\)

Пусть \(CP_2 = x,\) тогда \(P_2D = 9x,\) \(CD = 10x.\) Опустим из вершин \(B\) и \(C\) перпендикуляры \(BH_1\) и \(CH_2\) на основание \(AD.\) Получаем, что $$CK_2 = CP_2 = x, \,\, DP_2 = DL_2 = 9x, \,\, CK_2 = L_2H_2 = x, \,\, DH_2 = DL_2 - H_2L_2 = 9x - x = 8x$$ Из прямоугольного треугольника \(CDH_2\) по теореме Пифагора находим, что $$CH_2^2 + H_2D^2 = CD^2$$ $$4r^2 + 64x^2 = 100x^2 \, \Rightarrow \, 4r^2 = 36x^2 \, \Rightarrow \, r = 3x.$$ А так как \(x = \cfrac{1}{10} CD,\) немедленно получаем, что $$r = \frac{3}{10} \cdot CD = 0{,}3 \cdot CD$$ Ч.т.д.

б) Так как \(AB = 20,\) то \(x = 2,\) \(r = 6\) и $$AH_1 = 8x = 16$$ $$H_1D = x + 2r + x + 8x = 2 + 12 + 2 + 16 = 32$$ $$AD = AH_1 + H_1D = 16 + 32 = 48$$ Рассматривая прямоугольный треугольник \(BDH_1\) по теореме Пифагора получаем, что $$BD = \sqrt{BH_1^2 + H_1D^2} = \sqrt{12^2 + 32^2} = 4 \sqrt{73}$$ Теперь из прямоугольного треугольника \(ABH_1\) находим, что $$\sin A = \frac{BH_1}{AB} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$ Тогда площадь треугольника \(ABD\) $$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 48 \cdot \frac{3}{5} = 6 \cdot 48$$ Так как окружность, описанная около трапеции \(ABCD,\) проходит через вершины \(A,\) \(B\) и \(D,\) то она тогда описана и около треугольника \(ABD.\) Поэтому, радиус этой окружности $$R = \frac{AB \cdot BD \cdot AD}{4 S_{ABD}} = \frac{20 \cdot 4 \sqrt{73} \cdot 48}{4 \cdot 6 \cdot 48} = \frac{10 \sqrt{73}}{3}$$

Ответ: б) \(\cfrac{10 \sqrt{73}}{3}.\)