Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-7
- Просмотры: 397
- Изменено: 27 апреля 2026
Окружность с центром в точке \(O\) радиуса \(R\) вписана в угол с вершиной в точке \(B,\) равный \(60^\circ .\)Точки \(A\) и \(C\) — точки касания угла и окружности, а \(AE\) и \(CD\) — диаметры окружности.
- а) Докажите, что \(AB = DE.\)
- б) Прямые \(BD\) и \(BE\) вторично пересекают окружность в точках \(N\) и \(P\) соответственно. Найдите площадь четырёхугольника \(DEPN,\) если \(R = 7 \sqrt{3} .\)
Решение:
а) \(\triangle AOC = \triangle EOD\) по двум сторонам \((OA = OC = OD = OE =R)\) и углу между ними \((\angle AOC = \angle EOD\) как вертикальные). Значит \(AC = DE.\) Далее \(BA = BC\) как касательные, проведённые из одной точки к одной окружности. Значит \(\triangle ABC\) — равнобедренный. Но, т.к. \(\angle ABC = 60^\circ ,\) то этот треугольник равносторонний. Получаем, что \(BA = AC = DE.\) Ч.т.д.
б) В четырёхугольнике \(BAOC\) $$\angle ABC = 60^\circ , \,\, \angle BAO = \angle BCO = 90^\circ .$$ Значит, \(\angle AOC = 120^\circ .\)
\(\triangle BAO = \triangle BCO\) по трём сторонам: \(BA = BC\) по доказанному выше, \(OA = OC = R,\) и \(BO\) — общая сторона. Значит \(\angle AOB = \angle COB = 60^\circ \) и $$DE = AC = 2 \cdot OA \cdot \sin 60^\circ = 2 \cdot 7 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 21.$$ Теперь $$BE = BD = \sqrt{BC^2 + DC^2} = \sqrt{21^2 + \left( 14 \sqrt{3} \right)^2} = 7 \sqrt{21}$$ Так как \(BP \cdot BE = BC^2\) (по теореме о секущей и касательной, проведённых из одной точки к общей окружности) находим, что $$BP = BN = \frac{BC^2}{BE} = \frac{21^2}{7 \sqrt{21}} = 3 \sqrt{21}$$ Равнобедренные треугольники \(NBP\) и \(DBE\) подобны по двум пропорциональным сторонам и общему углу между ними, а, значит $$\frac{NP}{DE} = \frac{NB}{DB} = \frac{3}{7} \,\, \Rightarrow \,\, NP = \frac{3}{7} \cdot 21 = 9.$$
Луч \(BO\) — биссектриса угла \(ABC.\) Значит \(\angle OBC = 30^\circ .\) Кроме того \(\angle OEH = 30^\circ .\) Имеем $$BO = 2 OC = 14 \sqrt{3}, \,\, OH = \frac{1}{2} OE = \frac{7 \sqrt{3}}{2}$$ $$BH = BO + OH = \frac{35 \sqrt{3}}{2}$$
Площадь треугольника \(BDE\) равна $$S_{BDE} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot \frac{35 \sqrt{3}}{2} \cdot 21 = \frac{7^2 \cdot 3 \cdot 5 \sqrt{3}}{4}$$ Площадь подобного ему треугольника \(BNP\) будет $$S_{BNP} = \left( \frac{3}{7} \right)^2 \cdot S_{BDE} = \frac{7^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} \cdot 3^2}{4 \cdot 7^2} = \frac{3^3 \cdot 5 \cdot \sqrt{3}}{4}$$ Окончательно $$S_{DEPN} = S_{BDE} - S_{BNP} = \frac{7^2 \cdot 3 \cdot 5 \sqrt{3}}{4} - \frac{3^3 \cdot 5 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \cdot 5 \sqrt{3}}{4} \cdot (49 - 9) = 150 \sqrt{3}$$
Ответ: б) \(150 \sqrt{3}.\)
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования