Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-8

а) Рассмотрим четырёхугольник \(AOCB.\) В нём $$\angle OAB = \angle OCB = 90^\circ , \,\, \angle ABC = 120^\circ .$$ Значит \(\angle AOC = 60^\circ .\) Поэтому равнобедренные треугольники \(AOC\) и \(DOE\) являются равносторонними. Отсюда \(AC = DE = R.\)

Так как \(AE = CD = 2R,\) то четырёхугольник \(ADEC\) — прямоугольник. По теореме Пифагора $$AD = \sqrt{DC^2 - AC^2} = \sqrt{4R^2 - R^2} = R \sqrt{3}$$ Теперь \(AB = CD\) как касательные, проведённые из одной точки к окружности. Используя теорему косинусов, получаем, что $$AC^2 = R^2 = AB^2 + CB^2 - 2 \cdot AB \cdot CB \cdot \cos 120^\circ = 3 BC^2$$ Иными словами \(R = BC \sqrt{3}.\) Поэтому \(AD = 3 BC.\) Ч.т.д.

б) Прямоугольные треугольники \(OAB\) и \(OCB\) равны по катету \((OA = OC = R)\) и общей гипотенузе \(OB.\) Значит \(\angle AOB = \angle COB.\) Кроме того \(\angle AOD = \angle COE\) как вертикальные. Значит, в треугольниках \(DOB\) и \(EOB\) \(\angle DOB = \angle EOB.\) А так как \(OD = OE = R\) и \(OB\) — общая сторона этих треугольников, заключаем, что \(\triangle DOB = \triangle EOB.\) Отсюда \(DB = EB.\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BDC.\) Из пункта а) мы уже знаем, что \(BC = \cfrac{R}{\sqrt{3}} = \cfrac{13}{\sqrt{3}}. \) По теореме Пифагора $$BD^2 = BC^2 + DC^2 = \frac{13^2}{3} + 4 \cdot 13^2 = \frac{13^3}{3}$$ $$BD = \frac{13 \sqrt{13}}{\sqrt{3}}.$$ По теореме о касательной и секущей, проведённой из одной точки, получаем, что $$BP = \frac{BC^2}{BD} = \frac{13^2 \sqrt{3}}{3 \cdot 13 \sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$$ Равнобедренные треугольники \(BPN\) и \(BDE\) подобны, так как у них общий угол \(B.\) Коэффициент подобия равен $$\frac{BP}{BD} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}} : \frac{13 \sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{13}$$ Значит $$PN = \frac{1}{13} \cdot DE = \frac{R}{13} = 1.$$

Ответ: б) \(1.\)