Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-9

а) Если \(AD\) — высота в треугольнике \(BAC,\) то должна быть справедлива теорема Пифагора для треугольников \(BAD\) и \(CAD.\) Проверяем: $$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 180 - 4 = 176$$ $$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 192 - 16 = 176$$ Так как в обоих случаях результаты совпадают, значит \(AD\) — действительно высота в треугольнике \(ABC.\)

б) Пусть \(AE = y,\) \(CE = x.\) Тогда по свойству биссектрисы получаем, что $$\frac{AE}{CE} = \frac{y}{x} = \frac{6 \sqrt{5}}{6} = \frac{AB}{BC}$$ Отсюда \(y = x \sqrt{5}.\)

Треугольник \(ADE\) — прямоугольный, как это следует из доказанного факта в пунке а). Значит $$AE^2 = DE^2 + AD^2$$ $$5x^2 = (4 + x)^2 + 176$$ $$x^2 - 2x - 48 = 0$$ $$(x - 1)^2 = 49$$ $$x_{1,2} = 1 \pm 7$$ По смыслу подходит только положительный корень. Значит \(EC = 8,\) \(EB = 14,\) \(AE = 8 \sqrt{5}.\)

Площадь треугольника \(BAE\) равна $$S_{BAE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{176} \cdot 14 = 28 \sqrt{11}$$ Находим полупериметр этого треугольника: $$p = \frac{AB + AE + BE}{2} = \frac{6 \sqrt{5} + 8 \sqrt{5} + 14}{2}$ = 7 \left( \sqrt{5} + 1 \right)$$ Значит, радиус вписанной в треугольник \(BAE\) окружности равен $$r = \frac{S_{BAE}}{p} = \frac{28 \sqrt{11}}{7 \left( \sqrt{5} + 1 \right)} = \frac{4 \sqrt{11} \left( \sqrt{5} - 1 \right)}{5 - 1} = \sqrt{11} \left( \sqrt{5} - 1 \right)$$

Ответ: б) \(\sqrt{11} \left( \sqrt{5} - 1 \right)\)