Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. ЕГКР. 7.4.2026

а) Т.к. \(\angle BCK = 90^\circ,\) то \(\triangle BCK\) — прямоугольный. Значит, \(BK\) — диаметр окружности, описанной около треугольника \(BCK.\) Но тогда \(\triangle BMK\) также прямоугольный, причём \(\angle BMK = 90^\circ .\) Получаем, что \(\angle KMA = 90^\circ ,\) потому что \(KM \perp AB.\) Отсюда получаем, что \(\triangle ABC \sim \triangle AKM\) по двум углам: они прямоугольные и имеют общий угол \(A.\)

б) По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(ABC\) получаем, что $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = 4 \sqrt{10}$$ С другой стороны, из прямоугольного треугольника \(BCK\) по теореме Пифагора получаем, что $$CK = \sqrt{BK^2 - BC^2} = \sqrt{\left( 2 \sqrt{29} \right)^2 - 4^2} = \sqrt{100} = 10$$ Значит $$AK = AC - CK = 12 - 10 = 2$$ Далее $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24$$ Коэффициент подобия $$k = \frac{AK}{AB} = \frac{2}{4 \sqrt{10}} = \frac{1}{2 \sqrt{10}}$$ Площадь треугольника \(AKM\) $$S_{AKM} = k^2 S_{ABC} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$$ Значит $$S_{CKMB} = S_{ABC} - S{AKM} = 24 - \frac{3}{5} = 23 \frac{2}{5}$$

Ответ: б) \(23 \cfrac{2}{5}\)